Positive Operator Valued Probability Measure

Begründung:In seiner kompletten und wirklich außergewöhnlich ausgeprägten Unverständlichkeit schafft es der Beitrag das Thema seiner Ausführungen komplett zu verschleiern. Nicht mal das Fachgebiet ist imho feststellbar (Mathe? Physik? Aberglauben?). --Weissbier 12:37, 2. Mai 2007 (CEST)

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Ein engl. positive operator valued (probability) measure, abgekürzt als POVM, ist ein Begriff aus der mathematischen Beschreibung quantenmechanischer Messprozesse in der Physik. Ein POVM ist eine Art Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind.

Definition

Ein POVM auf einem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ist eine Abbildung $\mu :{\mathcal {A}}\to B({\mathcal {H}})$ mit Werten in der Menge der beschränkten linearen Operatoren $\Omega$ eines Hilbertraumes ${\mathcal {H}}$, die folgenden drei Bedingungen genügt:

• Für alle $A\in {\mathcal {A}}$ gilt $0\leq \mu (A)\leq \operatorname {id} _{\mathcal {H}}$ (hier bezeichnet $\operatorname {id} _{\mathcal {H}}$ die Identische Abbildung auf dem Hilbertraum). Das heißt, $\mu (A)$ ist positiv und daher auch selbstadjungiert.
• $\mu (\Omega )=\operatorname {id} _{\mathcal {H}}$.
• Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen $(A_{n}\in {\mathcal {A}})_{n\in \mathbb {N} }$ gilt $\mu (\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{n})$, wobei die unendliche Reihe im Sinne der starken Operatortopologie konvergiert.

Erläuterungen

Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den Kolmogorow-Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVMs verallgemeinern den Begriff des Spektralmaßes, der in der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren auftritt.

In der modernen Formulierung der Quantenmechanik treten POVMs zur Beschreibung von allgemeineren Observablen auf als sie in der älteren von Neumannschen Theorie vorkommen. Einem quantenmechanischen System, dessen Zustand durch einen Dichteoperator (statistischen Operator) $\rho$ über dem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ beschrieben wird, wird bei einer Messung einer Observablen mit Werten in $\Omega$, die durch ein POVM $\mu$ dargestellt wird, die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\mathcal {A}}\ni A\mapsto \operatorname {Spur} (\mu (A)\rho )$ als Vorhersage für das Ergebnis zugeordnet.

Verwendung von POVMs

Ein Beispiel, das nur schwer in der von-Neumannschen Theorie, aber leichter mit Hilfe von POVM formuliert werden kann, ist die Observable der Ankunftszeit eines Teilchens in einem Detektor.

Weblinks

• Übersichtsartikel