Spektralmaß

In der Mathematik, insbesondere in der Funktionalanalysis ist ein Spektralmaß eine Abbildung, die gewissen Teilmengen einer fest gewählten Menge orthogonale Projektionen eines Hilbertraumes zuordnet. Spektralmaße werden verwendet um Ergebnisse in der Spektraltheorie linearer Operatoren zu formulieren, wie z. B. den Spektralsatz für normale Opertaroren. Daneben wird der Begriff, jedoch mit anderer Bedeutung, in der Stochastik verwendet.

Definition

Es seien $(X,{\mathcal {A}})$ ein Maßraum, $H$ ein reeller bzw. komplexer Hilbertraum, $L(H)$ der Banachraum der stetigen linearen Operatoren auf $H$ und $P(H)$ die Menge der orthogonalen Projektoren von $H$.

Definition. Ein Spektralmaß für das Datum $(X,{\mathcal {A}},H)$ ist eine Abbildung $E\colon {\mathcal {A}}\rightarrow L(H)$ mit den folgenden Eigenschaften:

• Es gilt $E(X)=I$. Dabei ist $I\colon H\rightarrow H$ die Identität auf $H$.
• Für jedes $\Omega \in {\mathcal {A}}$ ist $E(\Omega )\in P(H)$, d. h. $E$ ist Projektor-wertig.
• Für alle $x,y\in H$ ist $E_{x,y}\colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {K}$ mit $E_{x,y}(\Omega )=\langle E(\Omega )x,y\rangle$ ein komplexes bzw. signiertes Maß auf ${\mathcal {A}}$.

Häufig wird die auf diese Weise definierte Abbildung $E$ auch als Zerlegung der Einheit $I$ (engl.: resolution of identity) bezeichnet. Auch ist es üblich von einem Projektor-wertigen Maß (engl.: projection-valued measure, häufig kurz PVM) zu sprechen.

Eigenschaften

Es sei $E$ ein Spektralmaß für das Datum $(X,{\mathcal {A}},H)$. Dann gelten die folgenden Aussagen:

• $E(\varnothing )=0$
• Es gilt $E(\Omega _{1}\cup \Omega _{2})+E(\Omega _{1}\cap \Omega _{2})=E(\Omega _{1})+E(\Omega _{2})$ für alle $\Omega _{1},\Omega _{2}\in {\mathcal {A}}$.
• Es gilt $E(\Omega _{1}\cap \Omega _{2})=E(\Omega _{1})\,E(\Omega _{2})$ für alle $\Omega _{1},\Omega _{2}\in {\mathcal {A}}$. Insbesondere kommutieren die Projektoren $E(\Omega _{1})$ und $E(\Omega _{2})$ miteinander und die Bild von $E(\Omega _{1})$ ist senkrecht zu $E(\Omega _{2})$, wenn $$\Omega _{1}\cap \Omega _{2}=\varnothing$ gilt.

Insbesondere ist jedes Spektralmaß ein (endlich additives) vektorielles Maß.

Setzt man $E_{x}:=E_{x,x}$ für $x\in H$, so gilt für alle $x,y\in H$ aufgrund der Polarizationsgleichung

$E_{x,y}={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{3}i^{n}E_{x+i^{n}y}$

im komplexen Fall bzw.

$E_{x,y}={\text{Re}}{\bigg (}{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{3}i^{n}E_{x+i^{n}y}{\bigg )}$

im reellen Fall. Insbesondere sind die Maße $E_{x,y}$ bekannt, wenn die Maße $E_{x}$ bekannt sind, so dass man häufig nur mit diesen arbeitet.

Äquivalente Definition

Häufig findet man die folgende Charakterisierung von Spektralmaßen in der Literatur als Definition. Eine Abbildung $E\colon {\mathcal {A}}\rightarrow L(H)$ ist genau dann ein Spektralmaß, wenn

• $E(X)=I$ gilt,
• $E$ Projektor-wertig ist und
• für jede Folge $(\Omega _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von ${\mathcal {A}}$-meßbaren, paarweise disjunkten Mengen

$E{\bigg (}\biguplus _{i\in \mathbb {N} }\Omega _{i}{\bigg )}=\sum _{i=1}^{\infty }E(\Omega _{i})$

im Sinne der starken Operatortopologie gilt. Diese Eigenschaft wird gelegentlich als punktweise $\sigma$-Additivität bezeichnet.

Die Bezeichnung Zerlegung der Einheit für $E$ lässt sich nun wie folgt erklären. Ist $(\Omega _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine abzählbare Zerlegung von $X$ in ${\mathcal {A}}$-messbare Mengen, so gilt

$id_{H}=E(X)=E{\bigg (}\biguplus _{i\in \mathbb {N} }\Omega _{i}{\bigg )}=\sum _{i=1}^{\infty }E(\Omega _{i})$

bzw.

$H=\bigoplus _{i=1}^{\infty }(E(\Omega _{i})(H)),$

wobei $\bigoplus$ die orthogonale Summe im Sinne von Hilberträumen der Familie $\{E(\Omega _{i})(H)\,|\,i\in \mathbb {N} \}$ von abgeschlossenen Unterräumen ist. Dies entspricht der Tatsache, dass die Eigenräume eines normalen Operators des $\mathbb {C} ^{n}$ eine orthogonale Summenzerlegung von $\mathbb {C} ^{n}$ bilden.

Beispiele

• Jeder normaler Operator $A$ eines Hilbertraumes bestimmt ein Spektralmaß. Nach dem Spektralsatz für normale Operatoren ist der Operator $A$ eindeutig durch dieses Spektralmaß beschrieben.

• Es sei $L^{2}[0,1]$ der Hilbertraum der im Lebesguesche Sinne quadrat-summierbaren Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1]$ und ${\mathcal {B}}[0,1]$ die Borelalgebra von $[0,1]$. Für eine wesentlich beschränkte Funktion $f$ auf $[0,1]$ bezeichne $M_{f}$ den durch Multiplikation mit $f$ induzierten Operator auf $L^{2}[0,1]$. Setzt man $E(\Omega ):=M_{\chi _{\Omega }}$ für eine Borelmenge $\Omega$ des Einheitsintervalls, so wird hierdurch ein Spektralmaß $E$ für das Datum $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),L^{2}[0,1])$ definiert. Dieses Spektralmaß ist das Spektralmaß des Multiplikationsoperators $M_{id}$.

Spektralmaß eines normalen Operators

Es seien $H$ ein Hilbertraum, $A\in L(H)$ ein normaler Operator mit Spektrum $\sigma (A)$. Dann erklärt man wie folgt ein Spektralmaß $E\colon {\mathcal {B}}(\sigma (A))\rightarrow L(H)$ auf der Borelalgebra ${\mathcal {B}}(\sigma (A))$ von $\sigma (A)$. Es sei $\pi _{A}\colon {\mathcal {M}}_{\infty }(\sigma (A))\rightarrow L(H)$ der Funktionalkalkül der beschränkten Borelfunktionen von $A$. Da $\pi _{A}$ ein Morphismus von $C^{*}$-Algebren ist, ist für jede Borelmenge $\Omega$ des Spektrums von $A$ durch $E(\Omega ):=\pi _{A}(\chi _{\Omega })$ eine orthogonale Projektion von $H$ gegeben. Man kann zeigen, dass $E\colon {\mathcal {B}}(\sigma (A))\rightarrow L(H)$ ein Spektralmaß ist, das Spektralmaß des normalen Operators $A$. Der Spektralsatz für normale Operatoren besagt nun, dass

$A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE(\lambda )=\int _{\sigma (A)}id_{\sigma (A)}\,dE$

gilt. Dabei steht auch der rechten Seite dieser Gleichung das Spektralintegral der beschränkten Borelfunktion $id_{\sigma (A)}$ bzgl. des Spektralmaßes $E$ (s. u.).

Ursprung

Stichworte

• Halmos
• von Neumann
• Mackey

Siehe auch

• POVM