Halbgruppe

Halbgruppe (Axiome EA)

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie

ist Spezialfall von

Magma (Axiom E)

umfasst als Spezialfälle

Monoid (EAN) Gruppe (EANI) Abelsche Gruppe (EANIK) kommutative Halbgruppe (EAK) natürliche Zahlen (N+,+) kommutatives Monoid (EANK) natürliche Zahlen (N,+)

Algebra, Gruppentheorie

In der Mathematik ist eine Halbgruppe $(M,\star )$ eine nichtleere Menge $M$ mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung $\star :M\times M\to M$ (also ein Magma), die dem Assoziativgesetz genügt, d.h. es gilt

$\forall a,b,c\in M\,\quad a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$

Beispiele

• $(\mathbb {N} ,+)$
• $(\mathbb {N} ,\cdot )$
• Jede Gruppe und jedes Monoid

Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen

Sei $X$ ein Banachraum. Eine einparametrige Familie $S(t),\;0\leq t<\infty$ von beschränkten linearen Operatoren von $X$ nach $X$ heißt Halbgruppe oder Semigruppe, falls gilt

(i) $S(0)=\operatorname {Id} _{X}$

(ii) $S(t+s)=S(t)S(s)$ für alle $t,s\geq 0$

Eine solche Halbgruppe $S(t)$ heißt gleichmäßig stetig, falls

$\lim _{t\to 0^{+}}\|S(t)-\operatorname {Id} _{X}\|=0$.

Der auf der Teilmenge

$D=\{x\in X\;|\;\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {S(t)x-x}{t}}\;\ {\mbox{existiert}}\}$

von $X$ definierte lineare Operator

$A:D\to X,\ x\mapsto \lim _{t\to 0^{+}}{\frac {S(t)x-x}{t}}$

heißt infinitesimaler Generator (oder Erzeuger) der Halbgruppe $S(t)$.

Siehe auch

• Hierarchie mathematischer Strukturen