In der Mathematik treten die Begriffe Supremum, Infimum, obere / untere Schranke, nach oben / unten beschränkt bei der Betrachtung von Teilmengen der reellen Zahlen auf.
Definitionen
Sei T eine Menge reeller Zahlen.
- Eine reelle Zahl b heißt obere Schranke von T, wenn für alle x in T gilt, dass x ≤ b.
- Eine reelle Zahl b heißt untere Schranke von T, wenn für alle x in T gilt, dass b ≤ x.
- Existiert eine obere Schranke von T, dann heißt T nach oben beschränkt.
- Existiert eine untere Schranke von T, dann heißt T nach unten beschränkt.
- Ist T nach oben und nach unten beschränkt, dann heißt T beschränkt.
- Ist T nach oben beschränkt, dann existiert eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten), man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T, in Zeichen sup(T).
- Ist T nach unten beschränkt, dann existiert eine größte untere Schranke (Beweis analog), man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T, in Zeichen inf(T).
Eigenschaften
Ist b eine obere Schranke von T und c > b, dann ist auch c eine obere Schranke von T. Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c, dann ist auch b keine obere Schranke von T. Analoges gilt für untere Schranken.
Die Menge T ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl R gibt, so dass |x| < R für alle x aus T gilt. Man sagt dann, T liegt in der offenen Kugel um 0 mit Radius R. Eine ähnliche Definition der Beschränktheit einer Menge gibt es in einem metrischen Raum.
Existenz des Supremums
Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt.
Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste (an) monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von M besteht, die zweite (bn) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von M besteht, so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht).
Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert sup(M) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M, denn:
Jedes Element von M ist kleinergleich jedem Element bn der oberen Folge, also kleinergleich sup(M), deshalb ist sup(M) eine obere Schranke.
Jede reelle Zahl, die kleiner ist als sup(M), ist kleiner als ein Element an0 der unteren Folge, also keine obere Schranke.
Verallgemeinerung
Man kann die hier beschriebenen Begriffe für eine beliebige total geordnete Menge definieren. Ein wesentlicher Unterschied ist dann aber, dass nicht jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum haben muss. Betrachte z.B. die Menge der rationalen Zahlen: Die Menge {x in Q | x2 < 2} ist beschränkt, hat jedoch in Q weder Supremum noch Infimum.