Klassische Mechanik

Die klassische Mechanik ist ein Teilgebiet der theoretischen Physik. Die klassische Mechanik beschreibt das Raum-Zeit-Kontinuum und die Bewegung der darin enthaltenen Körper. Der Gültigkeitsbereich der klassischen Mechanik wird eingeschränkt durch zwei Voraussetzungen: Die Relativbewegung zweier (beliebiger) Objekte ist klein im Vergleich zu der Lichtgeschwindigkeit (Abgrenzung gegenüber der Relativitätstheorie) und die physikalischen Entitäten sind unterscheidbar (Abgrenzung von der Quantenmechanik). Der bekannteste Anwendungsbereich der klassischen Mechanik ist das Aufstellen und Lösen von Bewegungsgleichungen eines oder mehrerer Körper (z.B. freier Fall, Pendel, Planetenbahnen, Bewegung eines starren Körpers). Daneben gibt es in der klassischen Mechanik eine Vielzahl von Resultaten, die das qualitative Verhalten von (komplizierteren) Systemen erklären (z.B. Energieerhaltung, Stabilität, Bifurkation, Chaos).

Moderne Auffassung der Klassischen Mechanik

Historisch gesehen ist die klassische Mechanik der Ausgangspunkt der Physik im modernen Sinne. Viele alltägliche Phänomene werden durch die klassische Mechanik ausreichend genau beschrieben. Trotzdem wurden im Verlauf der Geschichte Phänomene entdeckt, die mit der klassischen Mechanik nicht mehr erklärt oder nicht mehr in Einklang gebracht werden können. In diesen Bereichen wurde die klassische Mechanik durch eine genauere Theorie ersetzt, wie z.B. durch die spezielle Relativitätstheorie oder die Quantenmechanik. Ein wichtiger Testpunkt neuer physikalischen Theorien ist, dass es sich dabei um eine allgemeinere physikalische Theorie handelt, die die klassische Mechanik als Sonderfall enthält.

Eine physikalische Theorie setzt sich üblicherweise aus drei Bestandteilen zusammen:

1. Ein Bereich von feststellbaren Tatsachen (Beobachtung, Empirie).
2. Eine mathematische Theorie.
3. Ein Denksystem, mit denen man die Empirie und die mathematische Theorie zusammen in Abhängigkeit stellt.

Historisch wurden die Grundlagen zur Mechanik aus einer Vielzahl von Beobachtungen zusammengetragen, und haben ihre Verallgemeinerung in einer mathematischen Sprache gefunden. Umgekehrt lassen sich viele interessante Einsichten gewinnen, wenn man den umgekehrten Weg beschreitet, und die durch die mathematische Struktur implizierte ideale Welt erforscht. Ein Zitat von Norbert Straumann:

„Für den Physiker ist es nicht zulässig, die Geometrie von Raum und Zeit von den übrigen physikalischen Gesetzen isoliert zu betrachten. Die Struktur von Raum und Zeit wird durch das Verhalten von Uhren und Maßstäben festgelegt, deren Eigenschaften aber anderseits durch physikalische Gesetze bestimmt sind. Deshalb sind nur beide zusammen empirisch verifizierbar.“

Das Verhältnis der klassischen Mechanik zur Relativitätstheorie

In Gegensatz zu der Relativitätstheorie gibt es in der klassischen Mechanik keine oberste Geschwindigkeit, mit der sich Signale ausbreiten können. So ist es in einem klassischen Universum möglich, dass man alle Uhren mit einem unendlich schnellen Signal synchronisieren kann, was erlaubt, eine absolute, in jedem Inertialsystem gültige Zeit einzuführen. Ein Zitat von Hermann Weyl:

Der Glaube an die objektive Bedeutung der Gleichzeitigkeit beruht ursprünglich zweifellos auf der Annahme, dass jedermann mit voller Selbstverständlichkeit die Dinge die er sieht, in dem Zeitpunkt ihrer Wahrnehmung sieht.

In der Relativitätstheorie ist die größte Signalgeschwindigkeit gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Der Gültigkeitsbereich der klassischen Mechanik lässt sich nun gegenüber der Relativitätstheorie so abgrenzen, dass wir annehmen, dass wir die Uhren, die wir für Experimente benutzen, für unseren Zweck annähernd perfekt synchronisiert werden können. Das wird genau dann der Fall sein, wenn die Geschwindigkeiten $v$, die wir messen wollen, im Vergleich zu der (maximalen) Signalgeschwindigkeit $c$, mit der wir die Uhren synchronisieren, klein sind, d.h. $v\ll c$ oder ${\frac {v}{c}}\ll 1$.

Das Verhältnis der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik

Im Gegensatz zu der Quantenmechanik lassen sich Massenpunkte mit identischen Observablen (Masse, Ort, Impuls) unterscheiden, während man in der Quantenmechanik von ununterscheidbaren Entitäten ausgeht. Das bedingt, dass klassische Körper in dem Sinne makroskopisch sein müssen, dass sie individuelle Eigenschaften besitzen, die sie unterscheidbar machen. Somit lassen sich z.B. Elementarteilchen einer Familie nicht als klassische Massenpunkte auffassen. Die Unterscheidbarkeit eines klassischen Teilchens rührt daher, dass, wenn es sich selbst überlassen wird, in seinem vorherigen Inertialsystem verharrt. Dies ist für ein quantenmechanisch beschriebenes Teilchen nicht der Fall, da ein sich selbst überlassenes Teilchen nicht zwingendermaßen in seinem Inertialsystem verharrt. Diese Tatsache kann man in der Quantenmechanik herleiten, in dem man das Schrödinger-Anfangswertproblem für die Wellenfunktion eines Teilchens löst, dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu einen Zeitpunkt $t=0$ genau an einem Ort lokalisiert ist (ein so genannter $\delta$-Peak). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beginnt mit zunehmender Zeit zu zerlaufen. Der physikalische Grund dafür ist, dass die (exakte) Messung des Ortes eines mikroskopischen Teilchens ein Eingreifen in das physikalische System bedeutet.

Die Sprache der Mechanik

Typischerweise spricht man in der Mechanik von Massenpunkten. Jeder Massenpunkt besitzt eine endliche Masse $m$. Jedem Massenpunkt ist zu jeder Zeit $t$ ein eindeutiger Ort ${\vec {q}}={\vec {q}}(t)$ zugeordnet. Zudem besitzt jeder Massenpunkt einen Impuls ${\vec {p}}={\vec {p}}(t)$, der jedoch auch identisch Null verschwinden kann. (Bildlich gesprochen kann man den Impuls als diejenige Eigenschaft eines Körpers verstehen, mit der er sich dagegen wehrt, sein aktuelles Ruhesystem zu verlassen). Manchmal spricht man auch von Observablen, wenn man von ${\vec {q}}$, ${\vec {p}}$ oder $m$ spricht. Wenn man von einem Ereignis spricht, so meint man einen Ort ${\vec {q}}$ zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$. Dies lässt sich kompakt schreiben als $({\vec {q}},t_{0})$ oder auch als ${\vec {q}}(t)|_{t=t_{0}}={\vec {q}}(t_{0})$. Betrachtet man nicht nur den Ort eines Ereignisses, sondern auch den Impuls zu der Zeit $t_{0}$ so spricht man von einem Punkt im Phasenraum. Oft kürzt man einen Punkt im Phasenraum ab durch $({\vec {z}},t_{0})=({\vec {q}},{\vec {p}},t_{0})$ oder ${\vec {z}}(t)|_{t=t_{0}}:=({\vec {q}}(t),{\vec {p}}(t))|_{t=t_{0}}$. Betrachtet man die zeitliche Entwicklung eines Massenpunktes im Phasenraum, so spricht man von Phasenraumbahnen.

Zeit

Da es in der klassischen Mechanik keine oberste Grenze der Signalausbreitungsgeschwindigkeit gibt, können in einem klassischen Universum alle Uhren perfekt synchronisiert werden, d.h. die Zeit ist absolut. Dies erlaubt es in einem klassischen Universum, zwei Ereignisse $({\vec {q}}_{a},t_{a}),({\vec {q}}_{b},t_{b})$, die zu verschiedenen Zeiten $t_{a},t_{b}$ an verschiedenen Orten ${\vec {q}}_{a},{\vec {q}}_{b}$ geschehen sind, in Bezug auf die Zeit, wann sie geschehen sind, miteinander in Relation zu stellen: Dabei gibt es drei Kategorien:

1. $({\vec {q}}_{a}.t_{a})$ passiert vor $({\vec {q}}_{b},t_{b})$
2. $({\vec {q}}_{a},t_{a})$ und $({\vec {q}}_{b},t_{b})$ passieren gleichzeitig, und
3. $({\vec {q}}_{a},t_{a})$ passiert nach $({\vec {q}}_{b},t_{b})$.

Nimmt man weiter an, dass man mit den idealen Uhren die Zeit beliebig genau vermessen kann, so lässt sich die Zeit mit den reellen Zahlen identifizieren, auf denen eine Ordnungsrelation gegeben ist:

• Vorzeitig: $t_{a}<t_{b}$
• Gleichzeitig: $t_{a}=t_{b}$
• Nachzeitig: $t_{a}>t_{b}$

Aus diesen zeitlichen Relationen lässt sich eine Bedingung dafür finden, wann zwei Ereignisse $({\vec {q}}_{a},t_{a}),({\vec {q}}_{b},t_{b})$ in einem kausalen Zusammenhang stehen können: $({\vec {q}}_{a},t_{a})$ kommt als Ursache von $({\vec {q}}_{b},t_{b})$ genau dann in Frage, wenn $t_{a}\leq t_{b}$ ist. Andererseits kann $({\vec {q}}_{b},t_{b})$ nur dann eine Wirkung von $({\vec {q}}_{a},t_{a})$ sein, wenn $t_{b}\geq t_{a}$ ist.

Das führt zu einer für die klassische Mechanik typischen Situation: Sämtliche Orte in einem klassischen Universum können zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$ in einer kausalen Relation zueinander stehen. Das ist insofern nicht verwunderlich, da wir in der klassischen Mechanik eine beliebig schnelle Signalausbreitung haben. Umgekehrt lässt sich sagen: Eine Raumzeit mit einer solchen kausalen Relation erlaubt die instantane (zu einem einzigen Zeitpunkt) Ausbreitung von Information.

Bemerkung: Instantane Ausbreitung von Informationen lässt sich unter anderem beim Greeberg-Horne-Zeilinger Experiment zum Einstein Rosen Podolski Paradoxon messen, und führt dort unter anderem zu fundamentalen Schwierigkeiten bei der Interpretation der Quantenmechanik.

Raum

In der klassischen Mechanik geht man davon aus, dass der Raum homogen und isotrop ist. Die Homogenität impliziert, dass es keine ausgezeichneten Punkte im Universum gibt. Dies impliziert unter anderem, dass es keine absoluten Distanzangaben gibt. Distanzen können nur relativ zwischen zwei Punkten angegeben werden. Die Isotropie impliziert, dass es im klassischen Universum keine ausgezeichnete Richtung gibt. Diese Überlegungen führen zum Schluss, dass der physikalische Raum der klassischen Mechanik durch einen affinen Raum beschrieben werden kann:

Ein Affiner Raum ist ein Trippel $(M,E,+)$ wobei $M$ eine Menge ist, $E$ ein Vektorraum und $+$ eine freie transitive Gruppe auf $M$ ist. Dabei gibt es eine Abbildung von $E\times M\rightarrow M$ welches einem Paar $({\vec {v}},P)$ einen Punkt $P+{\vec {v}}$ so zuordnet, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+P={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+P)\qquad {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in E,\quad P\in M$
2. ${\vec {v}}+P=P\quad \Rightarrow {\vec {v}}={\vec {0}}\qquad {\vec {v}}\in E,\quad P\in M$
3. $\forall \quad P,Q\in M\quad \exists !\quad {\vec {v}}\in E,$ so dass $P+{\vec {v}}=Q$

Üblicherweise wird eine konkrete physikalische Situation in konkreten Koordinaten beschrieben. In diesem Zusammenhang spricht man oft von einem Laborsystem, von dem aus gemessen wird.

Bemerkungen: Es ist interessant zu bemerken, dass es in einem klassischen Universum keine Möglichkeit gibt, experimentell eine Orientierung des Raumes du bestimmen. Linkshändigkeit und Rechtshändigkeit können zwar experimentell als zwei (verschiedene) Klassen bestätigt werden, aber die absolute Benennung der Linkshändikeit und der Rechtshändigkeit sind unmöglich. Erst das Experiment von Wu erlaubt eine experimentelle Festlegung der Orientierung im Raum mit Hilfe der schwachen Wechselwirkung.

Raum-Zeit

In der Dynamik betrachtet man die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems im (Phasen-)Raum. Für die Beschreibung eines physikalischen Systems ist es sinnvoll, davon auszugehen, dass das Laborsystem, von dem aus man die Entwicklung des Systems betrachtet, keinen äußeren Einflüssen durch Krafteinwirkung unterworfen ist. Da es kein ausgezeichnetes Laborsystem gibt, gibt es beliebig viele gleichwertige Laborsysteme, die sich von einander dadurch unterscheiden, dass sie zueinander entweder in Ruhe sind oder dass sich die Abstände linear in der Zeit ändern. Systeme, die sich in einer solchen Art und Weise zueinander verhalten, nennt man Inertialsysteme.

Raum und Zeit können nun (im mathematischen Sinne) als ein Raum-Zeit-Kontinuum aufgefasst werden, in dem sich die physikalische Entwicklung eines Systems abspielt. Dieses Raum-Zeit-Kontinuum kann axiomatisch wie folgt beschrieben werden:

Eine Galilei Raum-Zeit ist ein vierdimensionaler affiner Raum $(H,E,+)$ mit folgenden Eigenschaften:

1. Auf dem Differenzenraum $E$ existiert eine Linearform $\tau$. Für zwei Ereignisse $p,q\in H$ gibt es eine eindeutigen objektiven Zeitunterschied $\tau (p,q)$.
2. Auf dem Unterraum $E_{0}:=\{v\in E|\tau (v)=0\}$ ist eine positiv definite Bilinearform $(\cdot ,\cdot )$ gegeben, d.h. $E_{0}$ ist ein Euklidscher Vektorraum.

Die Linearform $\tau$ induziert in der Galilei Raum-Zeit eine Faserung.

Grundlage und ein Beispiel der Arbeitsweise in der klassischen Mechanik

Wir können einige Zusammenhänge ganz axiomatisch aufbauen, wenn wir folgende Abkürzungen verwenden (SI-Einheit in Klammern):

• t Zeit (Sekunde)
• m Masse eines Körpers (Kilogramm)
• ${\vec {\Delta s}}$ zurückgelegte Strecke (m)
• ${\vec {v}}$ Geschwindigkeit (m/s)
• ${\vec {a}}$ Beschleunigung (m/s²)
• ${\vec {F}}$ Kraft (Newton)

Was heißt Geschwindigkeit eigentlich? Bei einer konstanten Geschwindigkeit können wir eine bestimmte Zeit warten und die zurückgelegte Strecke messen. Dann hat der Körper die Geschwindigkeit

$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Wenn gleichzeitig eine Kraft auf den Körper wirkt, und sich seine Geschwindigkeit dadurch zeitlich verändert, bekommen wir damit jedoch nur eine Art Durchschnittsgeschwindigkeit! Was heißt nun Geschwindigkeit? Hier hat Newton seinen großen Durchbruch gehabt: er definierte die Ableitung einer Größe

$v={\dot {s}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\Delta s}{\Delta t}}\right)$

welche die Geschwindigkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt definiert. Hierbei wird das untersuchte Zeitintervall immer weiter verkleinert und die entsprechende Strecke gemessen (ein Limes $\Delta t\to 0$). Die weitere Diskussion dieser Tatsache soll der Analysis überlassen bleiben, hingegen definiert die Ableitung der Ortsfunktion zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit:

$v(t)={\frac {\mathrm {d} s(t)}{\mathrm {d} t}}$

Analoges gilt für die Beschleunigung, definiert als Änderung der Geschwindigkeit:

${\ddot {s}}(t)={\dot {v}}(t)=a(t)$

Nun können wir die zwei ersten Newtonschen Gleichungen so schreiben:

• $F(t)=0\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}=0$ (oder v(t) = konstant)
• $F(t)=m\cdot a(t)={\mathrm {d} P(t) \over \mathrm {d} t}$

Letztere Gleichung definiert eigentlich den Begriff Masse, genauer die Träge Masse, welche als Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung die Trägheit des Körpers bestimmt. Allgemein bleibt zu erwähnen, dass in der klassischen Mechanik weiterhin nur Kräfte betrachtet werden, die von Ort und der Geschwindigkeit abhängen, also

• ${\vec {F}}={\vec {F}}({\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t),t)$

Arbeitsgebiete der klassischen Mechanik

• Statik: Untersuchung ruhender Systeme
• Dynamik: Newtonsche Axiome
• Kinematik: Untersuchung bewegter Körper
• Schwingungslehre

• konservative Systeme
• Lagrange-Formalismus
• Hamilton-Formalismus
• Symmetrien und Erhaltungssätze

Literatur

• N. Straumann, Klassische Mechanik. Grundkurs über Systeme endlich vieler Freiheitsgrade. (Lecture Notes in Physics; Bd. 289). Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18527-5
• R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6
• H. Goldstein, C. P. Poole, J. Safko, Klassische Mechanik, Wiley-VCH, ISBN 3-527-40589-5
• W. M. Oliva, Geometric Mechanics, Springer Lecture Notes In Physiks, ISBN 3-540-44242-1
• W. Nolting: Grundkurs: Theoretische Physik Band 1, Springer Verlag
• F. Linhard: Klassische Mechanik, Fischer kompakt, 2002 (Inhaltsverzeichnis, Leseprobe, Links und Glossar siehe hier)
• F. Scheck: Mechanik: von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos, Springer Verlag 1988
• L. D. Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band 1, Mechanik, Akademie Verlag Berlin'
• W. Demtröder: Experimentalphysik 1, Springer Verlag