Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis (Erwartungswert) annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.
Beispiel: Wurf einer Münze
| Anzahl Würfe | davon Kopf | Verhältnis | absoluter Abstand | ||
|---|---|---|---|---|---|
| theoretisch | beobachtet | theoretisch | beobachtet | ||
| 100 | 50 | 48 | 0.500 | 0.480 | 2 |
| 1000 | 500 | 491 | 0.500 | 0.491 | 9 |
| 10000 | 5000 | 4970 | 0.500 | 0.497 | 30 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, beträgt ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem kann der absolute Abstand zwischen dem theoretischen und dem tatsächlich beobachteten Ergebnis immer weiter anwachsen. Man kann also aus dem Gesetz der großen Zahlen nicht die Schlussfolgerung ziehen, wenn ein Ereignis bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet, muss es diesen Rückstand ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger vorkommen.
Praktische Bedeutung
- Versicherungen: Das Gesetz der großen Zahl hat bei Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es erlaubt eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss des Zufalls.
Das Gesetz der großen Zahl kann aber nichts darüber aussagen, wer im einzelnen von einem Schaden getroffen wird. Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.
- Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann man es ausnutzen, um Zufallseinflüsse auszuschalten.
- Naturwissenschaften Der Einfluss von Messfehlern kann durch häufige Versuchwiederholungen reduziert werden.
schwaches Gesetz der großen Zahlen
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X1, X2, X3, ... , die alle den selben Erwartungswert μ und die selbe endliche Varianz σ2 haben sowie unkorreliert sind (d.h., der Korrelationskoeffizient zwischen zwei beliebigen Xi, Xj ist Null), die repräsentative Stichprobe
stochastisch gegen μ konvergiert.
Die formale Definition lautet: Für jede positive Zahl ε (beliebig klein) gilt
Die Tschebyschow-Ungleichung wird zum Beweis dieses Satzes verwendet.
starkes Gesetz der großen Zahlen
Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X1, X2, X3, ... , die unabhängig und identisch verteilt sind sowie den selben Erwartungswert μ haben, gilt:
d.h. die repräsentative Stichprobe konvergiert fast sicher gegen μ.