Harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitabhängigkeit ihrer veränderlichen Zustandsgrößen sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude. Diese Form der Schwingung entsteht in einfachen linearen Systemen ohne Dämpfung.

Vertikale Schwingung an einer Feder

Ein Beispiel ist das Feder-Masse-Pendel. Ein Körper der Masse m ist an einer Feder mit der Federkonstante D befestigt. Lenkt man den Körper um das Stück y aus der Ruhelage aus, so wird die Feder gedehnt bzw. gestaucht und übt auf den Körper eine rücktreibende Kraft F aus, die sich gemäß dem Hookeschen Gesetz zu

$F=D\cdot y$

berechnet, deren Betrag also proportional zur Auslenkung y ist.

Dieser lineare Zusammenhang zwischen dem Betrag der Kraft F und der Auslenkung y, kurz lineares Kraftgesetz genannt, ist notwendige Voraussetzung für das Entstehen harmonischer Schwingungen.

Die Kraft wirkt bremsend auf den Körper, wobei nach Newtons Kraftgesetz für die Beschleunigung a die Beziehung

$a={\frac {F}{m}}$

gilt. Nun ist die Beschleunigung die zweite Ableitung der Elongation (=Ausschlag) nach der Zeit:

$a={\frac {d^{2}y(s)}{dt^{2}}}$

Durch Einsetzen ergibt sich hieraus für y(s) die Differentialgleichung

${\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}={\frac {-D}{m}}\cdot y(t)$,

die z.B. durch

$y(t)=y_{0}\sin(\omega t)\,$

gelöst wird.

Darin ist y₀ die Amplitude und $\omega =2\cdot \pi \cdot f$ die Kreisfrequenz. Die Auslenkung y(t) wird auch als Elongation bezeichnet.

Zweimaliges Differenzieren und Einsetzen ergibt:

$-\omega ^{2}\cdot y_{0}\sin(\omega t)={\frac {-D}{m}}\cdot y_{0}\sin(\omega t)$

Daraus erhält man $\omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}$ und da $\omega =2\pi \cdot {\frac {1}{T}}$ ergibt $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}$

Die letzten Ergebnisse für die Kreisfrequenz und die Schwingungsdauer lassen sich auch ohne Verwendung der Bewegungsgleichung mit dem Pi-Theorem ermitteln.

Eine einfache Diskussion mit Beispielen

Damit ein Objekt oszillieren (schwingen) kann, muss eine Kraft auf das Objekt wirken. Eine konstante Kraft würde jedoch das Objekt konstant beschleunigen (zum Beispiel wie ein Stein, der unter der Schwerkraft immer schneller zu Boden fällt, oder ein Rennwagen, dessen Gaspedal bis zum Boden durchgedrückt ist). Daher brauchen wir eine Kraft, die von der Position des Objektes abhängt. Die einfachste Art, dies zu gewährleisten ist eine lineare rücktreibende Kraft:

$F=-kx$

x ist die Position des Objektes, und k ist eine positive Konstante (Federkonstante). Je weiter das Objekt weggezogen wird, desto größer ist die Zugkraft, die auf das Objekt wirkt.

Natürlich existieren in der Natur noch viele komplizierte Kräfte, die nicht nur von der Auslenkung x, sondern z.B. auch von der Zeit, der Geschwindigkeit etc. abhängig sind. In diesem Beispiel fangen wir jedoch mit dem einfachsten Fall an.

Nach Newton gilt:

$a={\frac {F}{m}}$

oder, in unserem Fall

$a=-{\frac {kx}{m}}$

(die Kraft F von der obigen Gleichung wurde hier eingesetzt.)

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes (Beschleunigung hat die Einheit (m/s²), der Ort hat die Einheit (m)). Wir stellen uns jetzt den Ort als eine Funktion der Zeit vor. (Falls das kompliziert klingt, folgendes Beispiel: "Wenn ich mit 2 km/h (v) 2 Stunden (t) laufe, dann bin ich 4 Kilometer gelaufen" (x(t)): x(t) = v · t)

Es gilt also:

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-{\frac {kx(t)}{m}}$

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x(t)$

Hier wurde $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ gesetzt.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir eine Funktion x(t) finden, deren zweite Ableitung, $d^{2}x(t)/dt^{2}$, genau negativ proportional zur Funktion selbst ist. Genau das erfüllen die Funktionen sin(x) und cos(x), also ist dies eine Lösung:

$x(t)=a\cdot \sin(\omega t)+b\cdot \cos(\omega t)$

wobei a und b zwei willkürliche Konstanten sind. Mit Gleichungen der Trigonometrie, kann diese Gleichung auch als

$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )$

geschrieben werden. Auch hier sind wieder zwei willkürliche Konstanten vorhanden, A und $\phi$. A ist die Amplitude, und $\phi$ ist die Phase.

Die Sinusfunktion wiederholt sich unendlich mit der Periode 2$\pi$. Es gilt also $\sin(a+2\pi )=sin(a)$.

Wir haben

$x\left(t+{\frac {2\pi }{\omega }}\right)=A\sin \left(\omega \left(t+{\frac {2\pi }{\omega }}\right)+\phi \right)=A\sin \left(\omega t+2\pi +\phi \right)=x(t)$

Die Schwingung wiederholt sich alle $2\pi /\omega$ Sekunden. Oder, anders gesagt, es gibt $\omega /2\pi$ Schwingungen pro Sekunde (Kehrwert). Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde wird Frequenz $f$ oder $\nu$ genannt.

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Es gilt also:

$\omega =2\pi f$

An dieser Stelle können wir nun die Lösung unserer Gleichung im Zusammenhang mit der Frequenz angeben.

$x(t)=A\sin(2\pi ft+\phi )$

Wie man erkennt, hängt die Frequenz einer Schwingung von k und v ab. Je gespannter ein Körper (größeres k, also ist die Kraft größer, die das Objekt in die Ruhelage zurückziehen möchte), desto höher ist die Frequenz. Ein ausgeleiertes Gummiband hat ein niedriges k, wohingegen ein weit auseinandergezogenes Gummiband ein großes k hat (Wie man erkennt, besitzt ein Gummiband also variable k-Werte, die von der Streckung abhängen).

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die höhere Frequenz einer Saite (z.B. beim Klavier, oder bei einer Gitarre), wenn diese stramm gezogen wird (größeres k). Wird die Masse der Saite erhöht, (größeres m), so schwingt diese mit einer niedrigeren Frequenz. Daher sind die Bass-Saiten einer Gitarre (oder die tiefen Töne eines Klaviers, oder die Saiten einer Bass-E-Gitarre) wesentlich dicker als die Saiten für höhere Töne.

Eine kleine Maus kann daher auch nicht tief brummen - ihre Masse ist schlicht zu klein. Sie kann nur in hohen Tönen fiepen. Noch ein Beispiel: ein Gummiband, das recht ausgeleiert ist (kleines k) erzeugt beim Anzupfen eine sehr niedrige Frequenz. Das Gummiband schwingt so langsam hin und her (niedrige Frequenz f), dass der Luft, die das Gummiband umgibt, genug Zeit bleibt, um das Gummi herumzufließen, anstatt vom Gummi komprimiert zu werden. Ohne Kompression gibt es keine Schallwellen (siehe Longitudinalwelle).

Tatsächlich strahlt eine Saite oder Membran in einem Bass-Instrument (wie der Pauke oder dem Fagott) nur sehr wenig Schallenergie (Lautstärke) aus. Erst durch die großen Resonanzkörper, die Bassinstrumente umgeben, werden die Schwingungen in Schallwellen umgewandelt.

Oszillator und Reibung

Das schwingende Federpendel stellt einen Oszillator dar, in dem fortwährend Energie zwischen den Formen elastische Energie (Dehnung oder Stauchung der Feder) und kinetische Energie (Bewegungsenergie der Masse) ausgetauscht wird.

Normalerweise ist die Schwingung nicht reibungsfrei, d.h. durch Reibung wird dem System Energie entzogen; die Amplitude nimmt im Laufe der Zeit ab. In der Differentialgleichung tritt dann zur beschleunigenden Kraft F eine Reibungskraft F_R hinzu:

d²y(t)/dt² = - D · y(t) + F_R .

Der genaue Ausdruck für F_R hängt von der Art der Reibung ab. Im Falle trockener Reibung (z.B. Gleitreibung) ist F_R konstant, aber vom Vorzeichen der Richtung der Geschwindigkeit abhängig,

F_R = - k · sign(dy(t)/dt).

Im Falle dynamischer Reibung (z.B. innere Reibung bei elastischer Verformung) ist F_R proportional zur Geschwindigkeit, also zur ersten zeitlichen Ableitung der Elongation:

F_R = - k · dy(t)/dt .

Die entsprechenden Lösungen der Differentialgleichung führen dann zu einer Schwingung mit linear bzw. exponentiell abnehmender Amplitude. Da die Amplitude sich mit der Zeit verändert, handelt es sich nicht um eine harmonische Schwingung im engeren Sinne, bei der die Amplitude konstant bleibt.

Pendelschwingung und Sekundenpendel

Bei einem idealen und reibungsfreien System bleibt die Amplitude der Schwingung konstant. Dies ist annähernd durch ein langes, schweres Pendel realisierbar, weshalb man schon früh die Schwerkraft mit exakt gefertigten Pendeln gemessen hat. Durch diese Gravimetrie und durch Gradmessung wurde im 18. Jahrhundert die Form der Erde bestimmt, aus der das Meter definiert wurde.

Auch das Sekundenpendel (mit der Schwingungsdauer von 2 s) leitet sich daraus ab, das je nach Schwerkraft eine Länge von rund einem Meter hat. Bei einer genauen Pendeluhr wird die Amplitude durch eine spezielle Mechanik (das Steigrad) konstant gehalten, wodurch die Schwingungsdauer T stabil bleibt, denn diese ist bei einem Pendel geringfügig amplitudenabhängig. Die Schwingungsdauer des idealen Pendels hängt mit der Pendellänge l und der Fallbeschleunigung g näherungsweise über die Formel

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

zusammen. Einflüsse von außen kann man klein halten, indem das Pendel im Vakuum schwingt und gegen Temperatureffekte kompensiert ist. Dadurch ließen sich schon im 19. Jahrhundert Genauigkeiten besser als 0.1 Sekunde pro Tag erreichen, die erst um 1950 von Quarzuhren übertroffen wurden.

siehe auch: Harmonischer Oszillator