Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt) zweier Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ in einem dreidimensionalen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$.

Es gibt zwei solche Vektoren, die in entgegengesetzte Richtung weisen. Davon wird einer ausgewählt, so dass ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem bilden.

Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ (inneres Produkt) das zweite wichtige Produkt von zwei Vektoren. Die Kreuz- und Skalarprodukte hängen auch mit dem Spatprodukt dreier Vektoren zusammen.

Mathematische Darstellung

Das Vektorprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$

(${\vec {c}}$ ist auch ein Vektor)

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R³ kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\sin(\theta )\cdot {\vec {e}}$

wobei sin(θ) der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels θ, ${\vec {e}}$ der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor, und $|{\vec {a}}|$, $|{\vec {b}}|$ die jeweilige Länge der Vektoren sind.

Orientierung

Es gibt zwei Vektoren ${\vec {e}}$, die senkrecht auf ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ stehen (diese sind auf derselben Gerade und weisen in entgegengesetzte Richtungen). Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Komponentenweise Berechnung

Im normalen R³ kann man das Kreuzprodukt einfach komponentenweise berechnen:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Jede Zeile enthält im Kreuzprodukt dabei die Differenz der Produkte über Kreuz der anderen beiden Zeilen, beginnend mit $a_{2}$. Die Indizes werden zyklisch permutiert. Dann entsteht immer ein Rechtssystem.

Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 9-3\cdot 8\\-(1\cdot 9-3\cdot (-7))\\1\cdot 8-2\cdot (-7)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-30\\22\end{pmatrix}}$

Graphische Darstellung

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Der Betrag von ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ entspricht der Fläche des von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Parallelogramms.

Wichtige Eigenschaften

Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}$

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt auch: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ.

Sind die Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.

Das Kreuzprodukt erscheint nur im R³ sinnvoll, während im R² schlichtweg eine für das Kreuzprodukt wichtige Dimension fehlt. Dass Ähnliches für den R¹ gilt, leuchtet ein.

Lagrange-Formel

Die Lagrange-Formel (auch Bac-cab-Regel) ist sehr gut geeignet, um physikalische Vektorberechnungen zu vereinfachen. Sie lautet:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$,

Ein Merksatz für diese Formel ist “ABC = BAC minus CAB”.

Anmerkung: Ist einer der Vektoren der Nabla-Operator, funktioniert diese Formel nicht mehr!

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.

Diese Verallgemeinerung kann man so definieren:

Sei V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und a₁, ..., a_n-1 Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante

a₁ × ... × a_n-1 := det(E, a₁, ..., a_n-1)

wobei die a_i als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes stellt das äußere Produkt von Linearformen (beziehungsweise noch allgemeiner von (alternierenden) Multilinearformen) dar. Dabei kann dann eine beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden, das Ergebnis ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.

Ableitung der Berechnungsformel im R³

Für den R³ mit dem kanonischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis {e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)} folgt aus der allgemeinen Definition auch die Formel für die Komponenten:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}e_{1}&a_{1}&b_{1}\\e_{2}&a_{2}&b_{2}\\e_{3}&a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Anwendungen

Etliche physikalische Größen können mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet werden. Beispiele dafür sind das Drehmoment oder die Lorentzkraft.

Weblinks

• http://www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de/~cg/1997/skript/11_3_Kreuzprodukt_und.html