Satz von Bayes

Das Bayes-Theorem (oder auch Satz von Bayes) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach dem Mathematiker Thomas Bayes. Es gibt an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet und lautet:

P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}

Hierbei ist $P(A)$ die a-priori Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $A$ und $P(B|A)$ die so genannte Likelihood Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $B$ gegeben $A$ . Die Korrektheit des Satzes folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Interpretation

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen:

Die Berechnung von $P(Ereignis|Ursache)$ ist häufig einfach, aber oft ist eigentlich ist $P(Ursache|Ereignis)$ gesucht, also ein Vertauschen der Argumente. Für das Verständnis können der Entscheidungsbaum und die a-priori Wahrscheinlichkeit helfen.

Beispiele

Medizin: von einem positiven medizinischen Testergebnis wird auf das Vorhandensein einer Krankheit gschlosssen.
Informatik: Von charakteristischen Wörtern in einer Mail, wird auf die Eigenschaft "Spam" zu sein, geschlossen.

Rechenbeispiel

In einem medizinischen Beispiel sei das Ereignis $A$ , dass ein Patient eine schwere seltene ( $P(A)=0.0002$ ) Krankheit hat (Grundanteil). $B$ bezeichne die Tatsache, dass der Patient positiv auf die Krankheit getestet worden ist. Der Hersteller des Tests versichtert, dass der Test eine Krankheit zu 99.9% erkennt ( $P(B|A)=0.999$ ) und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt ( $P(B|\neg A)=0.01$ ). Die Frage ist: Gegeben ein positiv getesteter Patient, wie wahrscheinlich ist er an der seltenen Krankheit erkrankt?

Die Aufgabe kann entweder

durch Einsetzen in die Formel oder
durch einen Entscheidungsbaum (nur bei diskreten Wahrscheinlichkeiten)

gelöst werden

Lösung mit dem Satz von Bayes

Nach dem Satz von oben finden wir

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|\neg A)P(\neg A)+P(B|A)P(A)}}={\frac {0.999\cdot 0.0002}{0.01\cdot 0.9998+0.999\cdot 0.0002}}\approx 0.019,$

d.h. der Patient hat eine Chance von $98\%$ gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte.

Lösung mit dem Entscheidungsbaum

Die Rechnung lässt sich auch im Entscheidungsbaum darstellen. Die "fehlenden" Angaben lassen sich einfach einsetzen. Das Diagramm "rechnet mit".

                   10 000
                  /      \
                 /        \ 
                /          \ 
              2(krank)    9 998 (gesund)
              /\             /\
             /  \           /  \
            /    \         /    \
           /      \       /      \
Test-     0       2     100      9898
ergebnis  -       +     +        -

Ergebnis: 2+100=102 haben ein positives Ergebnis, obwohl 100 von ihnen gesund sind. Diese Angaben erfolgen hier in der absoluten Häufigkeit.

Verständnisprobleme des Bayes-Theorem in der Schule

Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind erscheinen , können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind [1]:

Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z.B. beim "Ziegenproblem")
Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, zu komplizierte Formulierung u.ä.

sollte das nicht eher auf die Seite zu bedingten Wahrscheinlichkeiten?

Weblinks

Ian Stewart:Der Trugschluss des Ermittlers (Ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik.)
Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein? (Ein Artikel zur Mathematikdidaktik.)