Parkettierung
In der Mathematik versteht man unter einer Parkettierung der (euklidischen) Ebene, auch als Belegung, Zerlegung, Kachelung bezeichnet, anschaulich ausgedrückt, eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene durch Parkettsteine.
Definitionen
Dabei ist eine Kachel (Parkettstein, Pflasterstein) eine abgeschlossene topologische Scheibe in der Ebene. (Dadurch werden u. a. Steine mit Löchern und nicht zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen. Gelegentlich werden aber auch solche und allgemeinere Steine zugelassen.)
Eine Parkettierung (Pflasterung, Kachelung, manchmal auch Mosaik) ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, welche sowohl eine Packung (d. h., „kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln“, oder, anders ausgedrückt, „verschiedene Kacheln haben höchstens Randpunkte gemeinsam“) als auch eine Überdeckung (d. h., „jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel“) ist.
Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z. B. fordert, dass alle Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend), oder aber, dass jede Kachel kongruent zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele verschiedene Kacheln auftreten.
Analog dazu werden auch Parkettierungen in höheren Dimensionen und allgemeineren Räumen betrachtet.
Spezialfall: Parkettierungen der Ebene
Symmetrien einer Parkettierung
Eine Kongruenzabbildung (euklidische Bewegung) der Ebene, welche jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt Symmetriegruppe und ist eine Gruppe. Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei linear unabhängige Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ebene kristallographische Gruppe, anderenfalls heißt die Parkettierung „nichtperiodisch“.
Kristallographische Restriktion
Bei periodischen Parkettierungen tritt ein interessantes Phänomen auf: Deren Symmetriegruppen können nur Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° und/oder 60° enthalten (also Elemente der Ordnungen 1, 2, 3, 4 und 6), jedoch keine Drehungen um andere Winkel (d. h. keine Elemente der Ordnungen 5, 7 oder höher). Diesen Sachverhalt, der übrigens auch für „reale“ Kristalle gilt, bezeichnet man als „kristallographische Restriktion“. Die Ordnung 5 ist jedoch bei Quasikristallen möglich, die eine „fast“ periodische Teilung haben.
Aperiodische Parkettierungen
Sätze von Proto-Kacheln (s. o.), die ausschließlich nichtperiodische Überdeckungen der Ebene zulassen, heißen „aperiodisch“. Sie können quasiperiodisch sein, das heißt, dass sich beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass das Parkett insgesamt periodisch ist. Ein interessantes und schönes Beispiel für eine quasiperiodische Parkettierung ist die Penrose-Parkettierung, benannt nach ihrem Entdecker Roger Penrose.
Literatur
- Branko Grünbaum, G. C. Shephard: Tilings and Patterns. WH Freeman & Co., 1986, ISBN 0-716-71193-1