Der (algebraische) Dualraum V* eines Vektorraums V über einem Körper K ist die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K. Die Elemente von V* werden auch als Linearformen oder Funktionale bezeichnet.
Der Dualraum V* ist selbst ein Vektorraum, sofern man ihn mit Vorschriften zur Addition und Multiplikation ausstattet, die man aus dem Raum V überträgt: mit f, g aus V*, x aus V und α aus K setzt man:
- (f+g)(x) = f(x) + g(x) und
- (αf)(x) = αf(x).
In der Sprache der Tensoralgebra heißen die Elemente von V kontravariante, die von V* kovariante Vektoren. Als Linearformen aufgefasst, heißen die Elemente von V* auch 1-Formen. In diesem Zusammenhang ist V meistens ein endlichdimensionaler Raum.
Die Wirkung sämtlicher Elemente von V* auf V kann man als eine einzige Bilinearform <,> : V* × V → K zusammenfassen:
- <f,x> = f(x).
Topologischer Dualraum
Falls der zugrunde liegende Vektorraum V ein Banachraum ist, kann man zusätzlich zum algegraischen auch den toplogischen Dualraum betrachten. Dieser ist die Menge aller stetigen linearen Funktionale. Die Unterscheidung zwischen algebraischen und topologischen Dualraum ist nur dann wichtig, wenn V ein unendlichdimensionaler Raum ist. In einem endlichdimensionalen Raum sind alle linearen Funktionale automatisch stetig und somit sind algebraische und topologischer Dualraum identisch. Wenn im Zusammenhang mit Banachräumen von einem Dualraum die Rede ist, ist meistens der toplogische Dualraum gemeint. Das Studium der Dualräume von Banachräumen ist das Hauptgebiet der Funktionalanalysis.
Der topologische Dualraum ist wieder ein Banachraum mit der Norm
Besonders einfach ist der (topologische) Dualraum, falls V ein Hilbertraum ist. Nach einem Satz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen, sind ein Hilbertraum und sein Dualraum isometrisch isomorph zueinander. Die Vertauschbarkeit von Raum und Dualraum kommt besonders deutlich in der Bra-Ket-Schreibweise von Dirac zum Ausdruck.
Da jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isometrisch isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlich-dimensionale Räume stets selbstdual.
Bidual
Da der Dualraum V* eines Banachraums wieder ein Banachraum ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den so genannten Bidualraum V** betrachten. Hier ist interesant, dass es eine kanonische Einbettung von V in V** gibt. (Das heißt: jedes Element des ursprünglichen Raums V ist auf natürliche Weise auch ein Element des Bidualraums). Wenn sich jedes Element des Bidualraums durch eine Element aus V dastellen lässt, genauer wenn die kanonische Einbettung ein Isomorphismus ist, dann heißt der Banachraum reflexiv. Reflexive Räume sind einfacher zu handhaben als nicht reflexive. Sie sind in gewisser Weise den Hilberträumen am ähnlichsten. Ein Beispiel für einen nicht-reflexiven Raum ist der Raum der stetigen Funktionen mit der Maximumsnorm.