Logarithmus

Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion (Formelzeichen "log") und wie folgt definiert:

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für a > 0 gilt: Wenn y = a^x dann ist x = log_a(y)

(Lies: x ist der Logarithmus von y zur Basis a).

Der Logarithmus ist immer durch eine bestimmte, hier a genannte Basis definiert.

Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also diejenige Zahl x, mit der man die Basis a potenzieren muss, um diese Zahl y zu erhalten.

Die Funktionen a^x und log_a(x) sind Umkehrfunktionen voneinander, d.h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt:

$a^{{\rm {log}}_{a}x}=x$ und ${\rm {log}}_{a}(a^{x})=x$

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen:

• x = log_a(0) müsste dann 0 = a^x bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
• (als Beispiel die negative Zahl -1) x = log_a(-1) müsste dann -1 = a^x bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist.

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe "Komplexer Logarithmus").

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus einer Zahl x zu einer Basis b gibt in gewisser Weise an, wieviele Stellen diese Zahl hat. Beispielsweise ist

log₁₀(1) = 0 weil 10⁰ = 1

log₁₀(10) = 1 weil 10¹ = 10

log₁₀(100) = 2 weil 10² = 100

log₁₀(1000) = 3 weil 10³ = 1000

etc.

Man nennt diesen ganzzahligen Wert auch Kennzahl.

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log₁₀(3*10) = log₁₀(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (John Napier) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit "ln" abgekürzt:

Wenn y = e^x dann ist x = log_e(y) = ln(y).

Die Zahl e kennzeichnet sich durch:

${\frac {\partial }{\partial x}}e^{x}=e^{x}$

Den Logarithmus zur Basis e nennt man den Natürlichen Logarithmus und seine Umkehrfunktion e^x die Exponentialfunktion. Die Zahl e ist also dadurch definierbar, dass die Exponentialfunktion ihre eigene erste Ableitung ist (sich durchs Differenzieren und Integrieren nicht ändert). Der Begriff Natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung , Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach Integrieren und Differenzieren.

Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit "lg" abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs.

Der Logarithmus zur Basis 2 - abgekürzt mit "lb" oder "ld" - heißt binärer Logarithmus, dualer oder dyadischer Logarithmus.

Abkürzungen

• log_a: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a (Hinweis: In manchen Programmiersprachen wird mit log() der natürliche Logarithmus berechnet, manche Taschenrechner berechnen mit log den dekadischen Logarithmus)
• ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e
• lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
• lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus

Es gibt verschiedene Algorithmen, um den Logarithmus rechnerisch näherungsweise zu bestimmen. Siehe dazu unter Berechnung des Logarithmus.

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen:

$\log _{b}(r)={\frac {\log _{a}(r)}{\log _{a}(b)}}$
Denn: schreibe den linken Ausdruck um: $\log _{b}(r)=x\Leftrightarrow b^{x}=r$(Definition des Logarithmus)
$b^{x}=r\Leftrightarrow \ln(b^{x})=\ln(r)\Leftrightarrow x\cdot \ln(b)=\ln(r)\Leftrightarrow x={\frac {\ln(r)}{\ln(b)}}$

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i.a. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel

$\log _{10}(8)={\frac {\log _{2}(8)}{\log _{2}(10)}}\approx {\frac {3}{3,32}}\approx 0,90$

wobei $\log _{2}(8)={\frac {\log _{10}(8)}{\log _{10}(2)}}$

Programmiersprachen

In vielen Programmiersprachen (z.B. C, C++, BASIC) heißt die Funktion für den Natürlichen Logarithmus log. Dennoch ist das entsprechende Formelzeichen ln und nicht log. In FORTRAN heißt der Natürliche Logarithmus alog.

Rechenregeln mit Beispiel

Die Rechenregeln lassen sich mit Hilfe der Potenzgesetze begründen.

Rechenregel	Beispiel
$\log _{b}(u\cdot v)=\log _{b}(u)+\log _{b}(v)$	$\log _{10}(10\cdot 100)=\log _{10}(10)+\log _{10}(100)=1+2=3$
$\log _{b}\left({\frac {u}{v}}\right)=\log _{b}(u)-\log _{b}(v)$	$\log _{10}\left({\frac {100}{10}}\right)=\log _{10}(100)-\log {10}(10)=2-1=1$
$\log _{b}(u^{z})=z\cdot \log _{b}(u)$	$\log _{10}(100^{2})=2\cdot \log _{10}(100)=2\cdot 2=4$
$\log _{b}({\sqrt[{z}]{u}})=\log _{b}(u^{1/z})={\frac {1}{z}}\cdot \log _{b}(u)$	$\log _{10}({\sqrt[{2}]{100}})={\frac {1}{2}}\cdot \log _{10}(100)={\frac {1}{2}}\cdot 2=1$
$\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}(x)$	$\log _{10}\left({\frac {1}{100}}\right)=-\log _{10}(100)=-2$
$\log _{a}\left(1\right)=0$	$\log _{10}\left(1\right)=0$
$\log _{a}\left(a\right)=1$	$\log _{10}\left(10\right)=1$

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist gegeben durch diese einfache Gleichung:

$(\ln {x})'={\frac {1}{x}}$

Für allgemeine Logarithmen gilt:

$(\log _{b}{x})'={\frac {1}{x\ln {b}}}$

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

$\int {\ln {x}\,\mathrm {d} x}=\int {1\cdot \ln {x}\,\mathrm {d} x}=x\cdot \ln {x}-\int {x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=x\ln {x}-x$

Komplexer Logarithmus

Datei:Ln abs.jpg Betrag von ln(z)

Datei:Ln re.jpg Realanteil von ln(z)

Datei:Ln im.jpg Imaginäranteil von ln(z)

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w mit $e^{w}=z$ ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt:

$e^{2k\pi i}=1,\ k\in \mathbb {Z}$

Ist also $w_{0}$ ein Logarithmus von $z$, so ist auch $w=w_{0}+2k\pi i$ ein Logarithmus von z:

$e^{w}=e^{w_{0}+2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot e^{2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot 1=e^{w_{0}}=z$

Indem man $w$ auf einen Streifen, z.B.

$\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\Im {(w)}\leq \pi \right\}$

einschränkt, kann man Eindeutigkeit erreichen.

Dieses $w$ heißt Hautpwert des Logarithmus und man schreibt $w=\ln {(z)}$. Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man den k-ten Zweig der Logarithmusfunktion:

$w=\ln {|z|}+i\arg {(z)}+2k\pi i,\ k\in \mathbb {Z}$

Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

$\ln {(z)}=\ln {|z|}+i\arg {(z)}$

ln(z) ist nicht stetig auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf $\mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}$ stetig und sogar holomorph.

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

$\ln {(-x)}=\ln {|-x|}+i\arg {(-x)}=\ln {(x)}+i\pi ,\ x\in \mathbb {R} ^{+}$

Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten:

$\ln {x}+\ln {y}\neq \ln {(x\cdot y)}$

Beispiel: $\ln {(-1)}+\ln {(-1)}=2\pi i\neq 0=\ln {1}=\ln {((-1)\cdot (-1))}$

$y\cdot \ln {x}\neq \ln {x^{y}}$

Beispiel: $2\pi i\cdot \ln {(e)}=2\pi i\neq 0=\ln {1}=\ln {(e^{2\pi i})}$

Anwendungen des Logarithmus

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie

• pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z.B. beim pKs- oder pKb-Wert)
• dB (Dezibel) z.B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
• bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge.
• In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z.B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
• Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
• Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
• Zeitskalen werden vom Menschen logarithmisch wahrgenommen. Das bedeutet, dass sich - zumindest subjektiv in den letzten 100 Jahren ebensoviel ereignet hat wie in den 900 Jahren zuvor. Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
• Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z.B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.

Weblinks

Logarithmusrechner mit Quelltext

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