Gruppoid (Kategorientheorie)

In der Mathematik bezeichnet man eine Menge zusammen mit einer inneren Verknüpfung als Gruppoid. Hat die innere Verknüpfung noch spezielle Eigenschaften (siehe Gruppenaxiome), so erhält das Gruppoid eine entsprechende andere Bezeichnung: Halbgruppe, Monoid oder (abelsche) Gruppe.

Bezeichnung, wenn Verknüpfung ... ist		zusätzlich: kommutativ
assoziativ	Halbgruppe	kommutative Halbgruppe
zusätzlich: neutrales Element vorhanden	Monoid	kommutatives Monoid
zusätzlich: alle inversen Elemente vorhanden	Gruppe	abelsche Gruppe

Beispiele

• ($\mathbb {Z} ^{+}$, +) ist eine kommutative Halbgruppe, aber kein Monoid.
• ($\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}$, +) ist ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe.
• ($\mathbb {Z}$, +) ist eine abelsche Gruppe.
• ($\mathbb {R}$, $\cdot$) ist ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, weil 0 nicht invertierbar ist.
• ($\mathbb {Z} _{n}$, +) ist für alle n $\in$ $\mathbb {N}$ eine abelsche Gruppe.
• ($\mathbb {Z} _{n}$, $\cdot$) ist für alle n $\in$ $\mathbb {N}$ ein kommutatives Monoid.