Tschebyscheff-Ungleichung bezeichnet in der Mathematik zwei verschiedene Ungleichungen.
Die Tschebyscheff-Ungleichung ist ein Ergebnis der Statistik. Sie gibt eine untere Grenze für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Wert einer Zufallsvariable mit endlicher Varianz innerhalb eines bestimmten Bereiches um den Erwartungswert der Variable liegt. Damit ist auch eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit angegeben, dass die Werte ausserhalb dieses Bereiches liegen.
Der Satz läßt sich auch auf Verteilungen anwenden, die nicht "glockenförmig" sind und setzt Grenzen dafür, wie viele der Daten "in der Mitte" liegen und wie viele nicht.
Satz
Sei X eine Zufallsvariable mit Mittelwert μ und endlicher Varianz σ2. Dann gilt für
alle reellen Zahlen k > 0:
Nur die Fälle k > 1 ergeben sinnvolle Resultate.
Nehmen wir zum Beispiel an, dass Wikipedia-Artikel im Durchschnitt 1000 Zeichen lang sind (mit einer Standardabweichung von 200 Zeichen). Aus der Tschebyscheff-Ungleichung kann man dann ableiten, dass mindestens 75% der Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 and 1400 Zeichen haben (k = 2).
Eine andere Folgerung aus dem Satz ist, dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert μ und endlicher Standardabweichung σ mindestens die Hälfte der Werte im Intervall (μ-√2 σ, μ+√2 σ) liegen.
Die von der Tschebyscheff-Ungleichung angegebenen Grenzen können nicht nach oben verbessert werden. Man kann Zufallsvariablen konstruieren, für welche die Grenzen gleich den wirklichen Wahrscheinlichkeiten sind. Im allgemeinen sind die Grenzen aber schwach.
Trotz der "schwachen" Grenzen kann der Satz nützlich sein, weil er für viele Zufallsvariablen gilt (auch solche, die sich stark von der Normalverteilung unterscheiden) und weil die Grenzen einfach zu berechnen sind. Der Satz wird beim Beweis des Gesetzes der großen Zahlen verwendet.
Er ist zu Ehren von Pafnuty Tschebyscheff benannt.
siehe auch: Markov-Ungleichung.
Für zwei gleich geordnete Folgen {ai}, {bi} gilt:
