Folge (Mathematik)

Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heißt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge. Die einzelnen Zahlen, aus denen die Folge zusammengesetzt ist, heißen die Glieder der Folge.

In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze, rationale oder reelle Zahlen. In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge dahingehend erweitert, dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dürfen. Folgen, deren Glieder nicht Zahlen, sondern Mengen sind, werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt.

Zeitreihen, wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen, können mathematisch als Folgen aufgefasst werden.

Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis: auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen; manche elementare Funktionen wie tan x führen dabei auf recht exotische Folgen wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen.

In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen.

Formale Definition

Weil die Glieder einer Folge in ihrer Reihenfolge festgelegt sind, kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer", den Index, eindeutig bezeichnet werden. Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der natürlichen Zahlen N; je nach Anwendungsfall schließt man dabei die Null ein (bei Bedarf explizit als Menge N₀ notiert) oder nicht (Menge N₊).

Randbemerkung: Diese Mehrdeutigkeit spiegelt sich auch in der Computertechnik wieder: in älteren (Fortran) oder didaktischen (Pascal) Programmiersprachen werden n-dimensionale Felder mit Indizes zwischen 1 und n adressiert; in den meisten Sprachen werden jedoch Indizes von 0 bis n-1 verwendet.

Wie so oft, kehrt man in der formalen Definition die Logik der Begriffsentstehung um und erklärt eine Folge als eine Funktion

${\begin{matrix}a:&\mathbf {N} &\to &X\\&i&\mapsto &a_{i},\end{matrix}}$

die jedem Index i aus der Indexmenge N ein Folgenglied a_i aus der Zielmenge X zuordnet. In der Regel ist X ein metrischer Raum; in der Schulmathematik und in den wichtigsten Anwendungsfällen ist X ganz konkret die Menge der reellen Zahlen R.

Es ist gebräuchlich, eine Folge mit runden oder spitzen Klammern als (a_i) oder <a_i> zu notieren; davon zu unterscheiden ist die Bildmenge der Folge {a_i | i aus N}.

Beispiel: Die Folge 0, 1, 0, 2, 0, 4, ... hat die Bildmenge { 0, 1, 2, 4, ... }.

Charakterisierung von Folgen

Je nach Anzahl der Folgenglieder unterscheidet man endliche Folgen und unendliche Folgen. In der Analysis meint man mit dem Wort Folge zumeist eine unendliche Folge; nur unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren.

Wie Funktionen kann man auch Folgen über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren:

• Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle i aus N gilt: a_i ≤ a_i+1.
• Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle i aus N gilt: a_i < a_i+1.
• Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.
• Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke S besitzt, so dass für alle i aus N gilt: a_i < S.
• Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum.
• Die Begriffe nach unten beschränkt, untere Schranke und Infimum sind analog definiert.
• Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
• Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, könnte man eine triviale Folge nennen.
• Eine unendliche Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch; es gibt eine Periodenlänge n, und für alle i aus N gilt: a_i = a_i+n.

Eine unendliche Folge, die gegen keinen Grenzwert konvergiert, kann nichtsdestoweniger Häufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge -1/2, 3/4, -5/6, 7/8, ... besitzt die Häufungspunkte -1 und 1).

Für monoton steigende (oder fallende) Folgen stimmen Supremum (bzw. Infimum) und Grenzwert überein (Beispiel: die Folge 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... konvergiert gegen ihr Supremum 1).

Bildungsgesetz einer Folge

Eine endliche Folge kann man angeben, indem man sämtliche Folgenglieder nennt. Bei einer unendlichen Folge geht das offensichtlich nicht; stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen.

Folgen, deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lassen, werden zuweilen regelmäßige Folgen genannt. Dies ist jedoch keine mathematisch strenge Klassifikation, da letzten Endes jede Folge, die überhaupt wohldefiniert ist, eine Funktionsvorschrift besitzt; bei unregelmäßigen Folgen lässt sich lediglich sagen, dass die Angabe einer Funktionsvorschrift nach derzeitigem mathematischen Wissen aufwendig ist oder/und über algorithmische Vorschriften erfolgt, die mit der üblichen Notation nicht in funktionaler Form dargestellt werden können. [Diese Thematik hängt mit der schwierigen Frage der Berechenbarkeit zusammen].

Angabe von Anfangsgliedern

Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe, eine Folge fortzusetzen, deren erste Glieder gegeben sind, ist aus mathematischer Sicht problematisch: durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt. Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen. Beispiele:

• Gegeben ist 0, 1, 2, 3. Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4, 5, 6, ..., also die Folge aller natürlichen Zahlen. Möglich ist aber auch die Fortsetzung 0, 1, 2, 3, 0, ...., also als die periodische Folge der natürlichen Zahlen modulo 4. In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit, also modulo 2³¹ dargestellt; beim sukzessiven Erhöhen eines Registers durchläuft man dann die Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, ..., 2147483647, -2147483646, -2147483645, ..., -1 und periodisch weiter.
• Ein mathematisch unvorgebildeter Proband nennt für die Zahlenfolge 3, 1, 4, 1, 5 als plausibelste Fortsetzung 1, 6, 1, 7, ... Inhaber der mittleren Reife sollten hingegen die Dezimaldarstellung der Kreiszahl π wiedererkennen und die Fortsetzung 9, 2, 6, ... vorschlagen.

Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) enthält tausende mathematisch relevanter Folgen; darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen.

Zur Notation: Wenn eine Folge nichtganze Zahlen enthält und Folgenglieder als Dezimalzahlen angegeben werden sollen, trennt man die Folgenglieder zweckmäßigerweise durch ein Semikolon anstelle des sonst meist verwendeten Kommas, also z.B. 1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

Angabe einer Funktionsvorschrift

Für viele, aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift

$i\mapsto a_{i}$

als eine geschlossene Gleichung angeben.

In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge N₀ zugrunde:

• Die Folge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, ... Dieses Beispiel ist speziell, weil die Werte von Folgenglied und Index übereinstimmen; die Funktionsvorschrift lautet einfach

$a_{i}=i.$

• Die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, ....

$a_{i}=2i+1.$

• Die Folge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, ...

$a_{i}=2^{i}.$

Daran anknüpfende Aufgaben (für Schüler)

Die Aufgabe, zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen, ist leicht: man nimmt nacheinander die Werte i=0, i=1, i=2 usw., setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein, und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder a₀, a₁, a₂ usw. Zweck dieser Rechnung ist es, sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen. Aber Achtung: eine Folge kann für wirklich große Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten. Beispiel: die Folge a_i = 1 / (1 + (i-1000)²), die bis i=1000 monoton zunimmt, dann aber wieder abnimmt, wie man durch Einsetzen höherer Zehnerpotenzen überprüfen kann.

Die Umkehraufgabe, zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen, ist dagegen deutlich schwieriger. Streng genommen kann es gar keine eindeutige Lösung geben, denn jeder Folgenanfang lässt sich ja in verschiedener Weise fortsetzen (siehe dazu oben). In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur für Folgen gestellt, deren Glieder a₀, a₁, a₂ usw. in einigermaßen überschaubarer Weise vom Index i=0, 1, 2, ... abhängen. Im einzelnen prüfe man:

• Ist die Folge alternierend? Wenn ja, bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor (-1)ⁱ in der Funktionsvorschrift. Beispiel: 0, -1, 2, -3, 4, ... hat die Vorschrift a_i=(-1)ⁱ i.
• Sind die Folgeglieder Brüche? Wenn ja, konstruiere man unabhängig voneinander Funktionsvorschriften für Zähler und Nenner. Beispiel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... hat die Vorschrift a_i=(i+1)/2ⁱ.
• Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen d zu (oder ab, mit d<0)? Wenn ja, hat man eine arithmetische Folge a_i=a₀+di. Beispiel: 1, 3, 5, 7, ... hat die Vorschrift a_i=1+2i.
• Genügen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Glieder einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgeglieder selbst? Wenn ja, kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten). Beispiel: Für 1, 3, 6, 10, 15, ... lauten die Differenzen 1, 2, 3, 4, ...
• Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhältnis 1:q zueinander? Wenn ja, hat man eine geometrische Folge a_i=a₀ qⁱ. Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51,2; ... nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0,8 ab; also lautet die Vorschrift a_i=100·(0,8)ⁱ.

Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch, dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen. Das liegt daran, dass ein Summand 0, ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben, sondern sofort ausgerechnet werden. In der gekürzten Form 1, 1, 3/4, 1/2, ... ist dem oben genannten Beispiel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... die Funktionsvorschrift beim besten Willen nicht mehr anzusehen.

Angabe als Reihe

Eine Folge <s_n>, deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge <a_i> geschrieben werden kann, heißt eine Reihe:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}a_{i}.$

Erläuterungen zur Notation:

• Das Äquivalenzzeichen ≡ ist eine Art verstärktes Gleichheitszeichen; es soll andeuten, dass die beiden Ausdrücke $a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$ und $\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ nicht nur in diesem speziellen Kontext, sondern prinzipiell, immer und überall gleich sind: der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck $\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ ist nichts anderes als eine Abkürzung für den Ausdruck $a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$.
• Innerhalb und außerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden. Dass wir speziell n und i gewählt haben, entspricht einer weit verbreiteten Konvention, ist aber nicht zwingend.
• Um $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ als konkreten Zahlenwert zu berechnen, muss ein konkreter Zahlenwert für den Index n vorgegeben werden. Im Gegensatz dazu ist der Index i kein von außen vorzugebender Input, sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt: welches n auch immer gegeben ist, für den "Laufindex" i muss man nacheinander die Werte 0, 1, .., n einsetzen und die Summe der zugehörigen a₀, a₁, ..., a_n berechnen.

Man kann jede Folge <s_n> als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine Folge

$a_{i}={\begin{cases}0&{\mbox{wenn }}i=0,\\s_{i}-s_{i-1}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

konstruiert. Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen; viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht.

Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, wenn man die Summation für beliebige n ausführen kann. Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für

• die arithmetische Reihe,
• die geometrische Reihe.

Siehe dazu den Artikel Summe.

Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert: für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien.

Angabe einer Rekursion

Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden. Dazu nennt man m Anfangswerte (mit m≥1; meistens ist m=1 oder m=2) sowie eine Vorschrift, wie ein Folgenglied a_i aus den vorhergehenden m Gliedern a_i-m, ..., a_i-1 berechnet werden kann.

Das bekannteste Beispiel für eine Folge, die durch eine einfache Rekursionsvorschrift gegeben ist, für die es aber keine elementare Funktionsvorschrift gibt, ist die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Für sie ist m=2: gegeben sind die zwei Anfangsglieder a₀=0 und a₁=1 sowie die Rekursionsvorschrift

$a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}.$

Für manche Folgen kann man aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten (oder umgekehrt). Zum Beispiel folgt für die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift

$a_{i}=a_{0}q^{i}$

die Rekursionsvorschrift

$a_{i}=qa_{i-1}.$

Die Rekursion

$a_{1}=2,a_{i+1}={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}$

definiert die Folge rationaler Zahlen 2, 3/2, 17/12, ..., die gegen √2 konvergiert.

Angabe über einen Algorithmus

Für manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift, aber keine Funktionsvorschrift. Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... Es ist seit den alten Griechen (oder Indern ?) bekannt, wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet. Es gibt jedoch keine Methode, zu einem gegebenen i die i-te Primzahl zu anzugeben, ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur (i-1)-sten Primzahl zu berechnen (oder nachzuschlagen).

Wichtige Folgen

Arithmetische Folgen und Reihen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Für die Folge 5, 7, 9, ... lautet die Funktionsvorschrift

$a_{i}=5+2i,$

im allgemeinen Fall (mit konstanter Differenz d)

$a_{i}=a_{0}+id.$

Innerhalb der Mathematik oder Informatik benötigt man besonders häufig die Folge der geraden

$a_{i}=2i$

oder der ungeraden Zahlen,

$a_{i}=2i+1.$

Die Folge der "Dreieckszahlen" 1, 3, 6, 10, 15, ... kann man als Reihe auffassen, der die arithmetische Folge 1, 2, 3, ... zugrunde liegt. Mit Hilfe einer bekannten Summationsformel findet man

$a_{i}={\frac {i(i+1)}{2}}.$

Folgen auf Basis der Potenzfunktion

Die Folge der Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, ... hat die Funktionsvorschrift

$a_{i}=i^{2},$

die der Kubikzahlen 0, 1, 8, 27, ...

$a_{i}=i^{3},$

was man für s-te Potenzen der natürlichen Zahlen zu

$a_{i}=i^{s}$

verallgemeinern kann, wobei s eine beliebige reelle Zahl sein darf. Mit s=1/2 erhält man die Folge 0, 1, √2, √3, 4, √5, ... der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen,

$a_{i}=i^{0,5}={\sqrt {i}}.$

Bei negativen Exponenten s<0 ist zu beachten, dass 0^s nicht exisitiert. Beispielsweise mit s=-1 und der Funktionsvorschrift

$a_{i}=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

ist es nicht möglich, dass Folgenglied zum Index i=0 zu berechnen. Man den Index 0 ausschließen, indem man sich die Indexmenge N₊ beschränkt. Oft ist es jedoch zweckmäßiger, die Indexmenge N₀ unverändert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in

$a_{i}=(i+1)^{-1}={\frac {1}{i+1}}$

zu ändern. Dann lauten die ersten Folgenglieder 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift für beliebige Exponenten s aufstellen:

$a_{i}=(i+1)^{s}$.

Geometrische Folgen

So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben, so stehen in einer geometrische Folge

$a_{i}=a_{0}q^{i}$

aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten Verhältnis zueinander, a_i+1 / a_i = q. Zum Beispiel ergibt q=2 die der Folge der Zweierpotenzen

$a_{i}=2^{i},$

von der jeder mit Digitaltechnik Befasste mindestens die ersten zehn Glieder 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 auswendig weiß; in dieser Folge ist jedes Glied genau doppelt so groß wie das vorangegangene.

Eine geometrische Folge mit |q|<1 konvergiert gegen Null, wie beispielsweise die Folge 1; 0,1; 0,01; ... zu q=0,1:

$a_{i}=\left({\frac {1}{10}}\right)$

Wenn q=1 erhält man die triviale Folge 1, 1, 1, ...; wenn q=-1, erhält man aus

$a_{i}=(-1)^{i}$

die fundamentale alternierende Folge 1, -1, 1, -1, ...

Exotischere Folgen

Die Goodstein-Folge, definiert mit den Ordinalzahlen als Zielmenge, enthält unendlich große Folgenglieder und konvergiert trotzdem gegen Null.

Noch nicht eingebaut

Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der Vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel.

Weblinks

• Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) enthält eine Sammlung gebräuchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion.