Infimum und Supremum

In der Mathematik treten die Begriffe Supremum, Infimum, obere / untere Schranke, nach oben / unten beschränkt bei der Betrachtung halbgeordneter Mengen auf.

Definitionen

Suprema (und Infima) von Mengen

Anschauung

Das Supremum einer Menge ist verwandt mit dem Maximum einer Menge und ist – anschaulich gesprochen – ein Element, welches "über" allen oder "jenseits" (oberhalb) aller anderen Elementen liegt. Der Ausdruck "über den anderen" soll andeuten, dass das Supremum nicht das größte Element "unter den anderen" sein muss, sondern durchaus auch außerhalb ("jenseits") der Menge liegen kann. Und weil es mehrere Elemente geben kann, die dieser Anschauung entsprechen, wird aus Eindeutigkeitsgründen das kleinste Element gewählt, welches diese Eigenschaft hat; sozusagen das Element, das am "nächsten" oder "unmittelbar" über allen anderen liegt. (Das Supremum bezeichnet also ein "unmittelbar Darüberliegendes".) Elemente, die zwar über allen Elementen einer Menge liegen, aber nicht zwingend in unmittelbarer Weise, heißen obere Schranken. Damit ergibt sich dann die Definition der Supremums als kleinste obere Schranke einer Menge.

Das Infimum einer Menge ist analog definiert, als "unmittelbar Darunterliegendes".

Im Reellen

Diese Anschauung lässt sich leicht auf Mengen von reellen Zahlen (als Untermengen der reellen Zahlen) übertragen: Sei

$X:=\{x\in {\mathbb {R}}:x<2\}\subseteq {\mathbb {R}}$

die Menge der reellen Zahlen kleiner 2. Dann ist 2 das Supremum von X (in ${\mathbb {R}}$). Denn 2 ist eine obere Schranke von X, da sie größer-gleich alle dessen Elemente ist &#150; also "darüberliegt". Aber im Gegensatz etwa zu der Zahl 4, die auch eine obere Schranke ist, gibt es keine Zahl kleiner 2, die auch obere Schranke von X ist. Daher ist 2 kleinste obere Schranke von X, mithin Supremum.

Durch eine kleine Abänderung wird sodann die Verwandtschaft von Supremum und Maximum deutlich. Das Maximum ist nämlich das größte Element "unter allen Elementen" einer Menge:

Offenbar hat X kein Maximum, da es zu jeder reellen Zahl kleiner 2 wieder eine reelle Zahl kleiner 2 gibt, die größer als sie ist. (Der Leser möge sich das veranschaulichen!) Die Zahl 2 ist als Supremum zwar größer als alle Elemente von X, liegt aber nicht in X, da sie nicht echt kleiner als sie selbst ist. Betrachten wir nun die Menge

$X':=\{x\in {\mathbb {R}}:x\leq 2\}\subseteq {\mathbb {R}}$,

so ist 2 Maximum von X', da sie kleiner-gleich sie selbst ist und es auch keine größere Zahl als 2 gibt, die kleiner-gleich 2 ist. Gleichfalls ist 2 aber auch Supremum von X' wie schon von X, da dieselben Bedingungen wie dort erfüllt sind.

Tatsächlich ist jedes Maximum immer auch Supremum. Daher ist es auch üblich, den Begriff Maximum gar nicht elementar zu definieren, sondern ihn als Sonderfall des Supremums zu benennen, wenn dieses selbst Element der Menge ist, dessen Supremum es darstellt. &#150; Analog gilt das für das Minimum.

Im Allgemeinen

Suprema können jedoch nicht nur auf den reellen Zahlen, sondern allgemein auf halbgeordneten Mengen betrachtet werden. Die formalen Definitionen lauten wie folgt:

Ist M eine halbgeordnete Menge und T eine Teilmenge von M so gilt:

[Schranke, Beschränktheit]

Ein Element b ∈ M heißt obere (untere) Schranke von T, wenn gilt:

$b\geq x\ (b\leq x)\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in T$.

Existiert eine obere (untere) Schranke von T, so heißt T nach oben (unten) beschränkt.

T heißt beschränkt, falls T nach oben und unten beschränkt ist.

Ist T nicht nach oben (unten) beschränkt, so heißt T nach oben (unten) unbeschränkt.

T ist unbeschränkt oder nicht-beschränkt, wenn T entweder nach oben oder nach unten oder nach oben und unten unbeschränkt ist.

(Soll ausgedrückt werden, dass eine Menge sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist, so muss die Menge ausdrücklich als nach oben und unten unbeschränkt beschrieben werden.)

[Supremum / Infimum]

Ein Element b ∈ M heißt Supremum von T, wenn b die kleinste obere Schranke von T ist.

Es heißt Infimum von T, wenn es die größte untere Schranke von T ist.

Ist M die Menge der reellen Zahlen so gilt:

• Ist T nach oben beschränkt, dann besitzt T eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten) und man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T &#150; in Zeichen sup(T).
• Ist T nach unten beschränkt, dann besitzt T eine größte untere Schranke (Beweis analog) und man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T &#150; in Zeichen inf(T).
• Falls T nach oben beschränkt und das Supremum von T in T enthalten ist, bezeichnet man das Supremum auch als Maximum von T, in Zeichen max(T).
• Falls T nach unten beschränkt und das Infimum von T in T enthalten ist, bezeichnet man das Infimum auch als Minimum von T, in Zeichen min(T).
• Ist T nach oben unbeschränkt, schreibt man: $\sup T=+\infty$ (siehe Unendlichkeit).
  Das Symbol +∞ ist dabei aber keine reelle Zahl und auch nicht das Supremum von T im hier definierten Sinne: +∞ als Supremumswert ist gerade die formale Schreibweise dafür, dass kein Supremum vorhanden ist. Gelegentlich wird in diesem Zusammenhang +∞ auch als "uneigentliches Supremum" bezeichnet.
• Ist T nach unten unbeschränkt, schreibt man analog: $\inf T=-\infty$.

Suprema (und Infima) einer Abbildung

Abbildungen allgemein

Der Begriff des Supremums auf Mengen wird sinngemäß auch auf Abbildungen (Funktionen) angewendet. Denn das Bild einer Abbildung ist ja auch immer eine Menge. Nämlich für eine Abbildung

$f:X\rightarrow Y$

die Menge

$f(X):=\{f(x):x\in X\}=\{y\in Y:y=f(x)\ f{\ddot {u}}r\ ein\ x\in X\}$

der einzelnen Elementbilder der Abbildung.

Ist nun Y eine halbgeordnete Menge, so definiert man

$\sup f:=\sup _{x\in X}f(x)=\sup f(X)=\sup\{f(x):x\in X\}$

als das Supremum von f auf X &#150; sofern es in Y existiert.

Analog wird das Infimum von f auf X definiert.

Folgen als Abbildungen

Fast man eine Folge a₁, a₂, a₃, &#133; von Elementen aus Y als Abbildung

$f:{\mathbb {N}}\rightarrow Y$

auf &#150; also gemäß

$a_{1}:=f(1),\ a_{2}:=f(2),\ a_{3}:=f(3),\ \ldots$

&#150; so ergibt sich aus der Definition des Supremums (Infimums) von Abbildungen sofort die Definition des Supremums (Infimums) einer Folge (a_n) &#150; sofern es in Y existiert.

Eigenschaften

Ist b eine obere Schranke von T und c > b, so ist auch c eine obere Schranke von T. Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c, so ist auch b keine obere Schranke von T. Analoges gilt für untere Schranken.

Das Supremum von T ist (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt. Dasselbe gilt für das Infimum von T.

Es ist möglich, dass eine Teilmenge T einer halbgeordneten Menge M mehrere minimale obere Schranken hat, d.h. obere Schranken, so dass jedes kleinere Element keine obere Schranke ist. Sobald T jedoch mehr als eine minimale obere Schranke hat, gibt es keine kleinste obere Schranke, d.h. kein Supremum, von T. Ein Beispiel ist die Menge $M=\{a,\ b,\ c,\ d\}$ mit der Halbordnung $\{a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d\}$. Hier hat $T=\{a,\ b\}$ die beiden minimalen oberen Schranken c und d.

Eine Teilmenge T der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es ein Element R gibt, so dass |x| < R für alle x aus T gilt. Man sagt dann, T liegt in der offenen Kugel um 0 mit Radius R. Eine ähnliche Definition der Beschränktheit einer Menge gibt es in einem metrischen Raum.

Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen

Die Existenz des Supremums für eine beschränkte Teilmenge M der reellen Zahlen kann auf mehrere Arten gezeigt werden:

Zum einen kann man die Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen einfach als Axiom festlegen. Diese Forderung wird oft Supremumsaxiom oder Vollständigkeitsaxiom genannt.

Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, kann man wie folgt vorgehen: Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt. Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste (a_n) monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von M besteht, die zweite (b_n) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von M besteht, so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht). Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert sup(M) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M, denn:
Jedes Element von M ist kleiner-gleich jedem Element b_n der oberen Folge, also kleiner-gleich sup(M), deshalb ist sup(M) eine obere Schranke von M. Und jede reelle Zahl, die kleiner ist als sup(M), ist kleiner als wenigstens ein Element $a_{n_{0}}$ (für ein gewisses n₀) der unteren Folge, also keine obere Schranke.

Eine äquivalente Formulierung zur Existenz des Supremums ist das Schnittaxiom, dass jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird.

Beispiele

Folgende Beispiele beziehen sich auf Teilmengen der reellen Zahlen.

$\sup\{1,2,3\}=3$

$\sup\{x\in {\mathbb {R}}:0<x<1\}=\sup\{x\in {\mathbb {R}}:0\leq x\leq 1\}=1$

$\sup\{x\in {\mathbb {Q}}:x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\notin {\mathbb {Q}}$

$\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in {\mathbb {N}}\}=1$

$\sup {\mathbb {Z}}=+\infty$

$\sup\{a\}=\inf\{a\}=\max\{a\}=\min\{a\}=a\ \forall a\in {\mathbb {R}}$

$\sup\{a+b:a\in A\land b\in B\}=\sup A+\sup B$

$\sup -A=-\inf A$ bzw. $-\sup A=\inf -A$, wobei $-A:=\{-x\in {\mathbb {R}}:x\in A\}$

Verallgemeinerung

Auf $\mathbb {R}$ hat jede beschränkte Teilmenge ein Supremum bzw. Infimum. Betrachtet man andere Mengen, auf denen Ordnungsrelationen definiert sind, so ist dies nicht zwingend:

• Die Menge $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen ist bezüglich der natürlichen Ordnung total geordnet. Die Menge $\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}\subset \mathbb {Q}$ ist beispielsweise durch die Zahl $2\in \mathbb {Q}$ nach oben beschränkt, hat aber kein Supremum in $\mathbb {Q}$.
• In der bezüglich Inklusion partiell geordneten Menge ${\mathcal {X}}:=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{1,2,4\}\}$ ist die Menge $M:=\{\{1\},\{2\}\}\subset {\mathcal {X}}$ sowohl durch das Element $\{1,2,3\}\in {\mathcal {X}}$ als auch durch $\{1,2,4\}\in {\mathcal {X}}$ nach oben beschränkt. Ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke von $M\,\!$, existiert in ${\mathcal {X}}$ jedoch nicht.

Die Untersuchung von partiell geordneten Mengen, in denen zu jeder zweielementigen Teilmenge ein Supremum und ein Infimum existiert, ist Gegenstand der Verbandstheorie.

Einen weiteren Ansatz zur Verallgemeinerung stellt die Definition des wesentlichen Supremums in L^p-Räumen dar.