Implikation

Vorlage:Mathematische Symbole Eine Implikation (v. lat.: implicare = verwickeln) bezeichnet

• bildungsspr. die Einbeziehung einer Sache in eine andere

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• logisch die Verknüpfung von Aussage a mit Aussage b, sodass die verknüpfte Aussage genau dann falsch ist, wenn a wahr und b falsch ist (Aus Wahrem kann nichts Falsches folgen). Dabei wird a auch als Prämisse und b als Konklusion bezeichnet. Ferner nennt man a hinreichende Bedingung für b und b notwendige Bedingung für a.

Schreibweise dafür:

$a\Rightarrow b$

Sprechweise dafür:

"Wenn a, dann b" oder "Aus a folgt b" oder "a impliziert b"

Beispiel: "Wenn es regnet, dann wird die Straße nass." Hier lautet die Prämisse: "es regnet" und die Konklusion sagt "die Straße wird nass". Beachte: Es wird nichts darüber gesagt, was gilt, wenn die Prämisse nicht erfüllt ist, es also nicht regnet. Auch dann ist die Gesamtaussage wahr. (Wir machen nämlich keine Aussage darüber, ob die Straße nicht auch aus anderen Gründen nass werden kann.) Die einzige Möglichkeit nachzuweisen, dass die Aussage falsch ist, wäre die Beobachtung, dass die Straße trotz Regen nicht nass wird.

Aussagenlogisch kann die Implikation durch eine Verknüpfung von Disjunktion und Negation nachgebildet werden. Es gilt:

$a\implies b\equiv \neg a\lor b$

Für die Aussage aus dem obigen Beispiel könnten wir also auch sagen "Entweder es regnet nicht oder die Straße wird nass." (Es dürfen auch beide Bedingungen erfüllt sein.)

Für die Implikation gilt folgende Umkehrung:

$(a\Rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg b\Rightarrow \neg a)$. (aus a folgt b) ist gleichwertig zu (aus nicht b folgt nicht a).

Beispiele:

Wenn es regnet, wird die Straße nass. $\Leftrightarrow$ Wenn die Straße trocken ist, regnet es nicht.

Morgen früh, wenn Gott will, wirst du wieder geweckt. $\Leftrightarrow$ Wirst du morgen früh nicht geweckt, dann hat Gott nicht gewollt.

Wenn es bayrisch Bier regnet und Bratkartoffeln schneit, dann bitten wir den Herrgott, dass das Wetter so bleibt. $\Leftrightarrow$ Wenn wir den Herrgott nicht bitten, dass das Wetter so bleibt, dann regnet es kein bayrisch Bier oder es schneit keine Bratkartoffeln.

Die Implikationen $a\Rightarrow 1$ und $0\Rightarrow a$ sind Tautologien, also immer wahr. Wenn aus einer Aussage a eine wahre Aussage folgt oder aus einer falschen Aussage eine Aussage a folgt, so ist damit a weder bewiesen noch widerlegt.

Umgekehrt gilt, dass wenn $1\Rightarrow a$ gilt, so ist a bewiesen, und wenn $a\Rightarrow 0$ gilt, so ist a widerlegt.

Eine Implikation selbst ist ein Boole'scher Ausdruck. Sie ist weder assoziativ noch kommutativ. So bedeutet

$(a\Rightarrow b)\Rightarrow c$

Wenn gilt, dass, wenn a wahr ist, dann b wahr ist, dann ist c wahr.

und

$a\Rightarrow (b\Rightarrow c)$ bedeutet:

Wenn a gilt, dann gilt auch, dass wenn b gilt, dann auch c wahr ist.

Beide Aussagen sind nicht gleich.

Verschiedene Programmiersprachen kennen einen Operator für die logische Implikation (z.B. IMP). Dieser verknüpft zwei Bits wie folgt:

Bit 1	Bit 2	Ergebnis
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Siehe auch

• Aussagenlogik
  • Äquivalenz (XNOR-Gatter)
  • Negation (Komplement-Gatter)
  • Konjunktion (Und-Gatter)
  • Disjunktion (Oder-Gatter)
  • Kontravalenz (XOR-Gatter)