Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) ist die mehrdimensionale Erweiterung der aus der Schulmathematik bekannten eindimensionalen Ableitung. Genutzt wird sie z. B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Die Jacobi-Matrix einer differenzierbaren Funktion ${\boldsymbol {f}}\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!$ ist die $m\times n$ -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen.

Sie wird mit $J_{\boldsymbol {f}}$ , $D{\boldsymbol {f}}$ oder ${\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {x}}}}$ bezeichnet.

Sie bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion ${\boldsymbol {f}}$ .

Bezeichnet man die Koordinaten im Urbildraum $\mathbb {R} ^{n}$ mit ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})$ und die Komponentenfunktionen von ${\boldsymbol {f}}$ mit $f_{1},\dots ,f_{m}$ , so lautet die Jacobi-Matrix

J_{\boldsymbol {f}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}

,

beziehungsweise ausführlich

J_{\boldsymbol {f}}={\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\,

.

Für eine Funktion

{\boldsymbol {f}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z),f_{3}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,

mit $n=m=3$ lautet sie zum Beispiel

J_{\boldsymbol {f}}={\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}&{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}\end{pmatrix}}\,

Sie kann, wenn man sie für einen Punkt ${\boldsymbol {p}}=(p_{1},\dots ,p_{n})$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von ${\boldsymbol {p}}$ verwendet werden:

{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})\approx {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {p}})+J_{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {p}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p}})

.

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung.

Für $m=1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von $f$ . Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.

Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Jacobideterminante

Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z. B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.

Für den Fall $m=n$ ist $f$ eine $n\times n$ -Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.

Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion $f$ in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Jacobideterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $p$ nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von $p$ invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in $p$ die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt $p$ gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von $f$ expandiert oder schrumpft.

Siehe auch