Reguläre Matrix

Die invertierbare, reguläre oder nichtsinguläre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine quadratische Matrix $A$ zu der eine weitere Matrix $A^{-1}$ existiert, sodass

A\cdot A^{-1}=E

gilt. Dabei ist $E$ die Einheitsmatrix und $A^{-1}$ wird als inverse Matrix zu $A$ bezeichnet.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ein lineares Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix eine eindeutige Lösung besitzt.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Die Menge aller invertierbaren $n\times n$ -Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) $K$ bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe $\mathrm {GL} _{n}(K)$ .

Die Pseudoinverse stellt eine Verallgemeinerung der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen dar.

Berechnung der inversen Matrix

Zur Berechnung der Inversen stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: der Gauß-Jordan-Algorithmus und die Adjunkte. Insbesondere mittels der Adjunkte lassen sich prinzipiell Formeln für Matrizen mit festgelegtem Rang herleiten. Diese sind jedoch zu umfangreich, um effizient eingesetzt werden zu können, so dass nur für 2x2- und 3x3-Matrizen gelegentlich die unten aufgeführten Formeln verwendet werden.

Um die numerische Qualität von Algorithmen zur Invertrierung von Matrizen zu testen, verwendet man die Hilbert-Matrix, da diese vergleichsweise schlecht konditioniert ist.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Die Inverse einer Matrix kann berechnet werden, indem man den Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Blockmatrix $(A|E)$ anwendet. Nach Durchführung des Algorithmus hat man eine Blockmatrix $(E|A^{-1})$ , aus der man $A^{-1}$ direkt ablesen kann.

Beispiel:

Gesucht ist die Inverse zur Matrix

A={\begin{pmatrix}1&2&0\\2&3&0\\3&4&1\end{pmatrix}}

Die Blockmatrix $(A|E)$ lautet

\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\2&3&0&0&1&0\\3&4&1&0&0&1\end{array}}\right)

Die Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus führt zur Matrix

\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-3&2&0\\0&1&0&2&-1&0\\0&0&1&1&-2&1\end{array}}\right)

Daraus lässt sich die inverse Matrix direkt ablesen:

A^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2&0\\2&-1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}

Adjunkte

Mittels der Adjunkte und der Determinante einer Matrix berechnet sich deren Inverse nach folgender Formel:

A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{\det(A)}}

Daraus leiten sich für $2\times 2$ - und $3\times 3$ -Matrizen die folgenden Formeln ab.

Formel für 2x2-Matrizen

A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}}

Formel für 3x3-Matrizen

A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}

Herleitung der Formel

Die Idee die Inverse einer Matrix mittels der Adjunkten zu berechnen leitet sich direkt aus der Cramer’schen Regel ab. Nach dieser lässt sich das Gleichungssystem

Ax_{i}=e_{i}

mit dem $i$ -ten Einheitsvektor auf der rechten Seite durch

x_{i}={\begin{pmatrix}{\frac {\det(A_{1j})}{\det(A)}}\\{\frac {\det(A_{2j})}{\det(A)}}\\\vdots \\{\frac {\det(A_{nj})}{\det(A)}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}\det(A_{1j})\\\det(A_{2j})\\\vdots \\\det(A_{nj})\end{pmatrix}}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{1j}\\{\tilde {a}}_{2j}\\\vdots \\{\tilde {a}}_{nj}\end{pmatrix}}

lösen. Dabei ensteht die Matrix $A_{ij}$ aus $a$ indem man die $i$ -te Spalte durch den $j$ -ten Einheitsvektor ersetzt. Deren Determinante ist auf Grund der einfachen Gestalt des Einheitsvektors mit dem Cofaktor ${\tilde {a}}_{ij}$ identisch. Es zeigt sich, dass die $x_{i}$ den Spalten der Inversen von $A$ entsprechen. Dazu multipliziert man beide Seiten des eingangs gezeigten Gleichungssystem von links mit dem transponierten $i$ -ten Einheitsvektor $e_{i}^{T}$ und bildet die Summe über alle $i$ .

{\begin{matrix}Ax_{i}e_{i}^{T}&=&e_{i}e_{i}^{T}\\Ax_{1}e_{1}^{T}+Ax_{2}e_{2}^{T}+\ldots +Ax_{n}e_{n}^{T}&=&e_{1}e_{1}^{T}+e_{2}e_{2}^{T}+\ldots +e_{n}e_{n}^{T}\\A\cdot (x_{1}e_{1}^{T}+x_{2}e_{2}^{T}+\ldots +x_{n}e_{n}^{T})&=&E\\A\cdot {\frac {\operatorname {adj} (A)}{\det(A)}}&=&E\end{matrix}}

Besondere Klassen von Matrizen

Es gibt einige Klassen von Matrizen, die auf Grund ihrer Struktur besonders einfach zu invertieren sind. Dazu zählen die Diagonalmatrizen und die Dreiecksmatrizen.

Definition

Invertierbare Matrizen über einem Körper

Es sei $K$ ein Körper, also z.B. $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ , und $A$ sei eine $n\times n$ -Matrix mit Einträgen aus $K$ .

Dann ist $A$ genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Es gibt eine inverse Matrix $A^{-1}$ , d.h. $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$ mit der Einheitsmatrix $I_{n}$ .
Die Determinante von $A$ ist nicht null.
0 ist kein Eigenwert.
Für alle $b\in K^{n}$ existiert genau eine Lösung $x\in K^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ .
Für alle $b\in K^{n}$ existiert mindestens eine Lösung $x\in K^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ .
Für alle $b\in K^{n}$ existiert höchstens eine Lösung $x\in K^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ .
Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von $K^{n}$ .
Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
Die Zeilenvektoren erzeugen $K^{n}$ .
Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von $K^{n}$ .
Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
Die Spaltenvektoren erzeugen $K^{n}$ .
Die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ , $x\mapsto Ax$ ist bijektiv.
Die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ , $x\mapsto Ax$ ist injektiv.
Die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ , $x\mapsto Ax$ ist surjektiv.
Die transponierte Matrix $A^{T}$ ist invertierbar.

Invertierbare Matrizen über einem Ring

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement, und $A$ sei eine $n\times n$ -Matrix mit Einträgen aus $R$ . In dieser allgemeineren Situation sind nicht mehr alle der obigen Kriterien für die Invertierbarkeit gültig:

Die Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Es gibt eine inverse Matrix $A^{-1}$ , d.h. $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$ mit der Einheitsmatrix $I_{n}$ .
Die Determinante von $A$ ist eine Einheit in $R$ .
Für alle $b\in R^{n}$ existiert genau eine Lösung $x\in R^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ .
Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von $R^{n}$ .
Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von $R^{n}$ .
Die durch $A$ beschriebene $R$ -lineare Abbildung $R^{n}\to R^{n}$ , $x\mapsto Ax$ , ist bijektiv.
Die transponierte Matrix $A^{T}$ ist invertierbar.

Ist $R$ noethersch, so sind diese Bedingungen auch äquivalent zu:

Für alle $b\in R^{n}$ existiert mindestens eine Lösung $x\in R^{n}$ des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ .
Die Zeilenvektoren erzeugen $R^{n}$ .
Die Spaltenvektoren erzeugen $R^{n}$ .
Die durch $A$ beschriebene $R$ -lineare Abbildung $R^{n}\to R^{n}$ , $x\mapsto Ax$ , ist surjektiv.

Eigenschaften

Ist $\lambda$ ein Eigenwert der invertierbaren Matrix $A$ , so ist ${\frac {1}{\lambda }}$ ein Eigenwert der inversen Matrix von $A$ .

Rechenregel

(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}