Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist genau dann durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung“ aufgeht. So ist beispielsweise die Zahl $8$ teilbar durch $4$, da $8\div 4$ genau $2$ ergibt, während dagegen die Zahl $9$ nicht durch $4$ (ganzzahlig) teilbar ist, weil die $4$ zweimal in die $9$ geht, aber als Rest $1$ übrig bleibt.

Formale Definition

Eine ganze Zahl $a\neq 0$ teilt eine ganze Zahl $b$ genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl $n$ gibt, für die gilt: $a\cdot n=b$. Man sagt dann auch „$a$ ist Teiler von $b$“, „$b$ ist teilbar durch $a$“, „$b$ ist Vielfaches von $a$“ und schreibt formal $a\mid b$.

Einige Mathematiker erlauben, dass die Zahl $a$ auch $0$ sein kann. Das einzige Vielfache der $0$ ist dann die $0$ selbst.

Ist $a$ keiner der trivialen Teiler $\pm 1,\pm b$, so nennt man $a$ einen nichttrivialen Teiler von $b$. Ist $a\neq b$, dann ist $a$ ein echter Teiler von $b$. Eine natürliche Zahl ungleich $1$, die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primzahl. Ist $a$ eine Primzahl, so heißt $a$ Primteiler von $b$.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die „Teilermenge von $n$“. Die Halbordnung durch Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von $n$“.

Die Anzahl der Teiler ist eine zahlentheoretische Funktion.

Eigenschaften der Teilbarkeit

• Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind $1$ und $-1$ Teiler jeder ganzen Zahl.
• Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der $0$) ist ein Teiler der $0$.
• Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der $0$) teilt sich selbst.
• Der kleinste positive Teiler $\neq 1$ einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien $a$, $b$ und $c$ ganze Zahlen.

• Gilt $a\mid b$, so gilt auch $-a\mid b$ und $a\mid -b$. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
• Gilt $a\mid b$ und $b\mid c$, so folgt $a\mid c$.
• Für $k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ gilt: $a\mid b\Leftrightarrow ka\mid kb$
• Gilt $a\mid b$ und $c\mid d$, so gilt auch $ac\mid bd$.
• Gilt $a\mid b$ und $a\mid c$, so gilt auch $a\mid kb+lc$ für alle Ganze Zahlen $k$ und $l$.
• Gilt $a\mid b$ und $b\mid a$ so ist $a=b$ oder $a=-b$.

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine partiell geordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die $1$ ($1$ teilt jedes andere), das größte ist die $0$ ($0$ wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Zweier-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
• Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $2^{n}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten $n$ Ziffern gebildet wird, durch $2^{n}$ teilbar ist.

Fünfer-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
• Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
• Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten dre Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $5^{n}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten $n$ Ziffern gebildet wird, durch $5^{n}$ teilbar ist.

Zehner-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $10^{n}$ teilbar, wenn ihre letzten $n$ Ziffern jeweils 0 sind.

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen

Bei den folgenden Teilbarkeitsregeln finden alternierende und nichtalternierende Quersummen Anwendung. Die nichtalternierende $n$-Quersumme einer Zahl berechnet sich, indem man die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu $n$ Ziffern zerlegt und diese Zifferngruppen addiert. Beispielsweise ist die nichtalternierende 2er-Quersumme von 16134523 = 16 13 45 23: 16 + 13 + 45 + 23 = 97. Die alterniernde $n$-Quersumme einer Zahl berechnet sich, indem man die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu $n$ Ziffern zerlegt und diese Zifferngruppen abwechselnd addiert und subtrahiert.Beispielsweise ist die alternierende 2er-Quersumme von 16134523 = 16 13 45 23: 16 - 13 + 45 - 23 = 25

• Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 7 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 13 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 37 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 73 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 77 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 91 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 99 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 101 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 111 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 137 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 143 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 999 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 1001 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 1111 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 4er-Quersumme durch 1111 teilbar ist.

Diesen Teilbarkeitsregeln liegen die beiden folgenden Regeln zu Grunde:

• Eine Zahl ist genau dann durch $10^{n}-1$ (oder einen Teiler hiervon) teilbar, wenn ihre nichtalternierende n-Quersumme durch $10^{n}-1$ (bzw. den Teiler hiervon) teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch $10^{n}+1$ (oder einen Teiler hiervon) teilbar, wenn ihre alternierende n-Quersumme durch $10^{n}+1$ (bzw. den Teiler hiervon) teilbar ist.

Will man für eine Zahl $x$ eine solche Teilbarkeitsregel aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder $10^{n}-1$ oder $10^{n}+1$ für ein beliebiges $n$ ist. Ist das Vielfache $10^{n}-1$, dann gilt die Teilbarkeitsregel „Eine Zahl ist genau dann durch $x$ teilbar, wenn ihre nichtalternierende $n$-Quersumme durch $x$ teilbar ist.“ Ist das Vielfache hingegen $10^{n}+1$, dann gilt die Teilbarkeitsregel „Eine Zahl ist genau dann durch $x$ teilbar, wenn ihre alternierende $n$-Quersumme durch $x$ teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass $7\cdot 147=1001=10^{3}+1$. Daraus ergibt sich dann die obige Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

Teilbarkeit durch 19

Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn - als $10a+b$ definiert - $a+2b$ durch 19 teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Um die Teilarkeit durch eine beliebige Zahl $n$ zu überprüfen verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primfaktoren mitdem entsprechenden Exponenten.

Beispielsweise ist ine Zahl genau dann durch $75=3\cdot 5^{2}$ teilbar, wenn sie durch $5^{2}=25$ und 3 teilbar ist. Das heißt ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar.

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

Gegeben sei ein Zahlensystem zur Basis B.

Es lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler T finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von Bⁿ, Bⁿ-1 oder Bⁿ+1 sind. n sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

B=2: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,21,31,32,33,63,64,65, ...
B=3: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,10,13,14,16,20,26,27,28,40,41,80,81,82, ...
B=4: siehe B=2
B=5: Teiler 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,18,24,25,26,31,39,62,63,78,124,125,126,156,312,313,624,625,626,...

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

• Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2ⁿ-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2ⁿ die Quersumme durch 2ⁿ-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2ⁿ ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von n Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis 2ⁿ. Zum Beispiel ist 91₁₀ durch 7₁₀ = 2³-1 teilbar, weil 91₁₀ = 001 011 011₂ = 133₈ im Oktalsystem (Basis 2³) die Quersumme 1₈+3₈+3₈ = 7₁₀ hat.
• Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
• Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als n-basische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Sind $a,b\in R$ Ringelemente, dann ist $a$ ein Teiler von $b$, falls ein weiteres Ringelement $n\in R$ mit $a\cdot n=b$ existiert.

In Ringen teilt $a$ genau dann $b$, wenn das von $a$ erzeugte Hauptideal $(a)$ das von $(b)$ erzeugte umfasst, formal: $a\mid b\Leftrightarrow (a)\supseteq (b)$.

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von $2$ erzeugte Hauptideal $(2)$ ist die Menge aller Vielfachen von $2$, $(4)$ dementsprechend die Menge aller Vielfachen von $4$. $(2)\supseteq (4)$, also ist $2$ ein Teiler von $4$.

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer $0$ teilbar.

Siehe auch

• Modulo, Kongruenz, Teilersumme, Teilerfremdheit, gemeinsamer Teiler, größter gemeinsamer Teiler