Kongruenzsatz

Ein bedeutendes Beweisverfahren in der Geometrie, der Kongruenzbeweis, beruht darauf, dass man die Kongruenz von Dreiecken nachweist und Folgerungen daraus zieht. Ein solcher Nachweis wäre allerdings ziemlich mühsam, wenn man dazu direkt die Definition der Kongruenz heranziehen würde. Man hat daher einfache Kriterien entwickelt, die so genannten Kongruenzsätze, um kongruente Dreiecke zu erkennen.

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie

• in den drei Seiten (SSS-Satz), oder
• in einer Seite und den beiden anliegenden Innenwinkeln (WSW), oder
• in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Innenwinkel (SWS), oder
• in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SsW)

übereinstimmen.

Die nachfolgende Abbildung zeigt für jeden der vier Kongruenzsätze die Größen, in denen zwei Dreiecke übereinstimmen müssen.

Für die Kongruenzsätze nötige Größen

Stimmen zwei Dreiecke in den drei Innenwinkeln überein, so sind sie nicht notwendigerweise kongruent. Sie sind jedoch ähnlich.
Ferner lässt sich aus dem WSW-Satz folgern, dass zwei Dreiecke auch dann kongruent sind, wenn sie in einer (beliebigen) Seite und zwei (beliebigen) Innenwinkeln übereinstimmen (SWW, WSW und WWS)

Das nebenstehende Bild zeigt, dass der Winkel (beim SsW-Satz) der größeren Seite gegenüber liegen muss, sonst hätte man Dreiecke die zwar in drei Teilen (sSW) übereinstimmen, aber nicht kongruent sind: Die beiden Dreiecke $A_{1}BC$ und $A_{2}BC$ stimmen in den Seitenlängen $a$ und $c$ sowie im Winkel $\gamma =\angle ACB$ überein.