Äquivalenz von Masse und Energie

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist ein wichtiges Ergebnis der Physik, welches erstmals im Jahre 1900 von dem französischen Mathematiker Henri Poincare und 5 Jahre später von Friedrich Hasenöhrl und Albert Einstein gefunden wurde. Sie steht in direktem Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie und wurde von Albert Einstein in seiner kurzen Arbeit „Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?“ zu seiner ursprünglichen Formulierung der Theorie hinzugefügt.

Das Prinzip besagt, dass die Masse eines Körpers einer Energiemenge entspricht, das also Masse und Energie in Wirklichkeit zwei Zustandsformen der selben Sache sind. Dies führt dazu, dass der Energieerhaltungssatz derart umformuliert werden kann, das Masse und Energie in einem abgeschlossenen System erhalten sind; Masse und Energie bleiben nicht unabhängig voneinander erhalten, da sie ineinander umgewandelt werden können.

Formeln

Äquivalenz von Masse und Energie

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist gegeben durch

$E=\gamma m_{0}c^{2}=mc^{2}$,

wobei $\gamma$ der Lorentzfaktor, $m_{0}$ die Ruhemasse, m die relativistische Masse und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Für ein ruhendes Objekt (d.h. im Ruhesystem) gilt

$E_{0}=m_{0}c^{2}$,

da hier $\gamma =1$ ist.

kinetische Energie

Die kinetische Energie ergibt sich zu

$T=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$.

Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, steigt die kinetische Energie ins Unendliche an, sodass kein massebehafter Körper die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.

Energie-Impuls-Beziehung

Weiter definiert man die sogenannte Energie-Impuls-Beziehung. Diese lautet

$(mc^{2})^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}$

oder

$E^{2}=E_{0}^{2}+(pc)^{2}$,

wobei p der relativistische Impuls ist.

Für ruhemasselose Teilchen, wie etwa Photonen, wird daraus

$E=pc$,

woraus auch folgt, dass Photonen einen Impuls tragen.

Herleitung

Aus den im Artikel über Vierervektoren abgeleiteten Größen können sowohl die Äquivalenz von Masse und Enerige, als auch die Energie-Impuls Beziehung hergeleitet werden.

Äquivalenz von Masse und Energie

Wir benötigen dazu die Vierergeschwindigkeit

$v^{\mu }=\gamma (c,\mathbf {v} )$

$v_{\mu }=\gamma (c,-\mathbf {v} )$

den Viererimpuls

$p^{\mu }=m_{0}v^{\mu }=\gamma m_{0}(c,\mathbf {v} )$

und die Viererkraft

$F^{\mu }={\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=(F^{0},\mathbf {F} )=(F^{0},\gamma F_{N})$,

mit dem Zusammenhang zwischen der Eigenzeit $\tau$ und der Zeit t

$\mathrm {d} \tau ={\frac {1}{\gamma }}\mathrm {d} t$.

Als erstes berechnen wir das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit und der Viererkraft, mit

$v_{\mu }F^{\mu }=v_{\mu }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(m_{0}v^{\mu })={\frac {1}{2}}m_{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(v_{\mu }v^{\mu })={\frac {1}{2}}m_{0}{\frac {\mathrm {d} c^{2}}{\mathrm {d} \tau }}=0$,

da die Ableitung einer Konstanten Null ist. Hierbei wurde benutzt, dass $v_{\mu }v^{\mu }=c^{2}$ ist (siehe Vierervektor).

Das Skalarprodukt lässt sich jedoch auch schreiben als

$v_{\mu }F^{\mu }=\gamma (c,-\mathbf {v} )(F^{0},\gamma \mathbf {F} _{N})=\gamma cF^{0}-\gamma ^{2}F_{N}\mathbf {v} =0$,

wobei wir aufgrund obiger Rechnung wissen, dass dies gleich Null ist. Das zeitliche Element der Viererkraft ergibt sich durch umstellen der letzten Gleichung zu

$F^{0}={\frac {1}{c}}\gamma F_{N}\mathbf {v}$,

oder über die Definition der Viererkraft

$F^{0}={\frac {\mathrm {d} p^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(\gamma m_{0}c)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma ^{2}m_{0}c)$.

Da dies beides das zeitliche Element der Viererkraft darstellt, ergibt sich die Gleichung

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma ^{2}m_{0}c)={\frac {1}{c}}\gamma F_{N}\mathbf {v}$

und damit schließlich

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma m_{0}c^{2})=F_{N}\mathbf {v}$.

Da nun $F_{N}\mathbf {v}$ die zeitliche Ableitung der Energie E ist, d.h.

$F_{N}\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(F_{N}\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$,

folgt

$E=\gamma m_{0}c^{2}=mc^{2}$

in einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialsystem. Im Ruhesystem gilt dann

$E_{0}=m_{0}c^{2}$

Energie-Impuls-Beziehung

Wir berechnen das Quadrat des Viererimpulses auf zwei Weisen, mit

$p_{\mu }p^{\mu }=m_{0}^{2}v_{\mu }v^{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}$,

und

$p_{\mu }p^{\mu }=\gamma ^{2}m_{0}^{2}(c^{2}-\mathbf {v} ^{2})=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}-\gamma ^{2}m_{0}^{2}\mathbf {v} ^{2}=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}-\mathbf {p} ^{2}$.

Damit ergibt sich die Gleichung

$m_{0}^{2}c^{2}=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}-\mathbf {p} ^{2}$.

Multiplikation mit $c^{2}$ ergibt

$m_{0}^{2}c^{4}=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{4}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}$

$E_{0}^{2}=E^{2}-(\mathbf {p} c)^{2}$

Oder in der bekannten Form

$E^{2}=E_{0}^{2}+(\mathbf {p} c)^{2}$.

Diskussion

Die durch diese einfache Formel gegebene Erkenntnis hat weitreichende, manchmal der Intuition widersprechende Konsequenzen: Betrachtet man ein System, in dem zwei Teilchen zu einem verschmelzen, so wird dabei Bindungsenergie frei. Durch die Äquivalenz von Masse und Energie hat das System mit den gebundenen Teilchen eine geringere Masse als das System mit freien Teilchen. Während dieser Massenunterschied für viele Systeme so gering ist, dass er kaum ins Gewicht fällt (beispielsweise hat ein Wasserstoff-Atom gegenüber einem freien Elektron und einem freien Proton gerade mal ca. 1 ⁄ 70 000 000 weniger Masse), ist der Betrag für Atomkerne recht groß (beispielsweise rund 0,8 Prozent bei Kohlenstoff-12), man spricht hier auch vom Massendefekt. Aus dem unterschiedlichen Massendefekt verschiedener Atomarten stammt die Energie bei Kernspaltung und Kernfusion. Hier wird also direkt Masse in (andere) Energie umgesetzt.

Im Extremfall wird die gesamte Masse in Energie umgesetzt, bei der Annihilation von Teilchen und Antiteilchen. Die ursprünglichen Teilchen existieren hinterher nicht mehr. Im umgekehrten Prozess, der zum Beispiel in Teilchenbeschleunigern gezielt herbeigeführt wird, kann die kinetische Energie der beschleunigten Teilchen beim Zusammenstoß zur Erzeugung neuer Teilchen verwendet werden, deren Masse weit über der der kollidierenden Teilchen liegen kann.

Eine interessante Tatsache ist auch, dass die Sonne allein durch ihr abgestrahltes Licht (Gesamtleistung ca. 3,7 · 10²⁶ W) in jeder Sekunde rund 4 Millionen Tonnen (4 · 10⁹ kg) Masse verliert (verglichen mit der Sonnenmasse von rund 2 · 10³⁰ kg ist dieser Anteil jedoch vernachlässigbar gering).

Literatur

• Albert Einstein: Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?. In: Annalen der Physik 18/1905. S. 639–643

Beispiel

Wenn ein Atom von einem Neutron zertrümmert wird, ist die Masse der Bruchstücke (des Atoms plus des Neutrons) kleiner als die Masse des ursprünglichen Atoms plus des Neutrons. Dies ist möglich, da Energie freigesetzt wird. Auf dieser Funktionsweise bauen auch Atombomben und Atomkraftwerke auf.

Weblinks

• Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• A. Einstein, AdP 18, 639 (1905) – Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?