Bernsteinpolynom

Die Bernsteinpolynome wurden 1911 von Sergei Natanovich Bernstein entwickelt.

Sie sind definiert als

$B_{i,n}(t)={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}$

mit der Dimension $n$, dem Index 0 ≤ i ≤ n und dem Binomialkoeffizient

${n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}$

Die folgende Abbildung zeigt die Polynome B_0,4 bis B_4,4:

Mit Hilfe von Bernsteinpolynomen lässt sich die Bézierkurve in Bernsteinform mit Kontrollpunkten darstellen.

Eigenschaften

• Im offenen Intervall (0,1) sind alle Bernsteinpolynome positiv
• Es gilt:

  $B_{i,n}(0)=\delta _{i,0}$,

  $B_{i,n}(1)=\delta _{i,n}$, mit dem Kronecker-Delta $\delta _{i,j}$

• Im Intervall (0,1) gilt:

  $\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)=1$

• B_i,n(t) = B_n-i,n(1-t)
• Das globale Maximum von B_i,n(t) in [0,1] liegt an der Stelle t=i/n.

Referenz

• Bernstein, S.N., Démonstration du Théorème de Weierstrass fondée sûr le calcul dés Probabilités, Commun. Soc. Math. Khrakow, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912.