Seien
M
{\displaystyle M}
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
f
∈
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle f\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
X
∈
C
∞
(
M
,
T
M
)
{\displaystyle X\in C^{\infty }(M,TM)}
Vektorfeld . Die Lie-Ableitung der Funktion f in einem Punkt
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
L
X
f
(
p
)
=
X
p
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=X_{p}(f)}
In lokalen Koordinaten bedeutet das:
L
X
f
(
p
)
=
∑
a
∈
A
X
a
∂
f
∂
x
a
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}}
mit
X
=
∑
a
∈
A
X
a
∂
∂
x
a
.
{\displaystyle X=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}.}
Betrachten wir dazu in lokalen Koordinaten eine Basis
d
x
a
{\displaystyle dx^{a}}
T
⋆
M
{\displaystyle T^{\star }M}
f
:
M
→
R
{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
d
f
:
M
→
T
⋆
M
{\displaystyle df:M\to T^{\star }M}
Kotangentialbündel mit:
d
f
=
∑
a
∈
A
∂
f
∂
x
a
d
x
a
.
{\displaystyle df=\sum _{a\in A}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}dx^{a}.}
Vergleich mit der ursprünglichen Definition liefert in lokalen Koordinaten:
L
X
f
(
p
)
=
d
f
(
p
)
[
X
(
p
)
]
=
∑
a
∈
A
X
a
∂
f
∂
x
a
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}},}
bzw. global:
L
X
f
=
d
f
[
X
]
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=df\,[X].}
Lie-Ableitung von Vektorfeldern
Seien
X
,
Y
{\displaystyle X,\,Y}
M
{\displaystyle M}
X
=
∑
a
∈
A
X
a
∂
∂
x
a
{\displaystyle X=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\;}
Y
=
∑
a
∈
A
Y
a
∂
∂
x
a
.
{\displaystyle \;Y=\sum _{a\in A}Y^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}.}
L
X
Y
=
[
X
,
Y
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}
Offensichtlich ist
[
X
,
Y
]
:=
∑
a
∈
A
(
∑
b
∈
A
X
b
∂
Y
a
∂
x
b
−
∑
b
∈
A
Y
b
∂
X
a
∂
x
b
)
∂
∂
x
a
{\displaystyle [X,Y]:=\sum _{a\in A}\left(\sum _{b\in A}X^{b}{\frac {\partial Y^{a}}{\partial x^{b}}}-\sum _{b\in A}Y^{b}{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}
wieder ein glattes Vektorfeld über
M
{\displaystyle M}
L
X
Y
=
[
X
,
Y
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}
Eigenschaften
Die Menge aller glatten Funktionen
A
(
M
)
=
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(M)=C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
Algebra . Die Lie-Ableitung ist eine Abbildung:
L
X
:
A
(
M
)
→
A
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {A}}(M)\to {\mathcal {A}}(M)}
mit den folgenden Eigenschaften:
L
X
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
L
X
(
f
g
)
=
(
L
X
f
)
g
+
f
L
X
g
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}
Man nennt so eine Abbildung auch eine Derivation .
Bezeichnen wir mit
X
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}
M
{\displaystyle M}
A
(
M
)
×
X
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}
L
X
(
f
Y
)
=
(
L
X
f
)
Y
+
f
L
X
Y
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y.}
Ferner gilt die Jacobi-Identität :
L
X
[
Y
,
Z
]
=
[
L
X
Y
,
Z
]
+
[
Y
,
L
X
Z
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}
Wir halten fest:
X
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}
Lie-Algebra .
Gegeben seinen
eine glatte Mannigfaltigkeit M ,
ein glatter Schnitt im Tangentialbündel, also ein glattes Vektorfeld und
eine k +1-Form
α
∈
Λ
k
+
1
(
M
)
.
{\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k+1}(M).}
Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und
α
{\displaystyle \alpha }
(
i
X
α
)
(
X
1
,
…
,
X
k
)
=
(
k
+
1
)
α
(
X
,
X
1
,
…
,
X
k
)
{\displaystyle (i_{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(k+1)\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,}
also eine Abbildung:
i
X
:
Λ
k
+
1
(
M
)
∋
α
→∈
i
X
α
∈
Λ
k
(
M
)
{\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\ni \alpha \rightarrow \in i_{X}\alpha \in \Lambda ^{k}(M)}
Eigenschaften der Lie-Ableitung
i
X
{\displaystyle i_{X}}
R -linearfür beliebiges
f
∈
Λ
0
(
M
)
{\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}
i
f
X
α
=
f
i
X
α
{\displaystyle i_{fX}\alpha =fi_{X}\alpha }
Sei
β
{\displaystyle \beta }
M und
α
∈
Λ
k
(
M
)
{\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k}(M)}
i
X
(
α
∧
β
)
=
(
i
X
α
)
∧
β
+
(
−
1
)
k
α
∧
(
i
X
β
)
{\displaystyle i_{X}(\alpha \wedge \beta )=(i_{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (i_{X}\beta )}
Weiter oben hatten wir die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X für Funktionen über M definiert:
L
X
f
=
i
X
d
f
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df}
Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X wie folgt definiert:
L
X
α
=
(
i
X
∘
d
+
d
∘
i
X
)
α
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =\left(i_{X}\circ d\ +d\circ i_{X}\right)\alpha }
Eigenschaften:
L
f
X
α
=
f
L
X
α
+
d
f
∧
i
X
α
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\alpha =f{\mathcal {L}}_{X}\alpha +df\wedge i_{X}\alpha }
L
X
(
α
∧
β
)
=
(
L
X
α
)
∧
β
+
α
∧
(
L
X
β
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}
[
L
X
,
L
Y
]
α
:=
L
X
L
Y
α
−
L
Y
L
X
α
=
L
[
X
,
Y
]
α
{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }
[
L
X
,
i
Y
]
α
=
[
i
X
,
L
Y
]
α
=
i
[
X
,
Y
]
α
.
{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha .}
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}},}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcba33ed345a17970277823ee82b6f1d1a300584)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=df\,[X].}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfa1d359d0926156e3a1248970d32c122c42d0f)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/af17ef64b6fa6093e1fb097a39df26d067c2cb5a)
![{\displaystyle [X,Y]:=\sum _{a\in A}\left(\sum _{b\in A}X^{b}{\frac {\partial Y^{a}}{\partial x^{b}}}-\sum _{b\in A}Y^{b}{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fc74798602f9efd4d350d9e9e3f40693e7eb86)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce151ef322e8727038ae45f7707ab407ba60b01)
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/65dc5117a4e5efcb8122cc7ccf43221086ae68db)
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha .}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a91a3808b40a3a6a8e0ee7adf0c78c41c6443ef)