Die Catalansche Vermutung wurde 1844 von dem belgischen Mathematiker Eugène Catalan (1814-1894) formuliert.
Die beiden Potenzen 8 = 23 und 9 = 32 unterscheiden sich um genau 1. Catalan behauptete, dass es keine anderen Zahlen mit dieser Eigenschaft mehr gibt, also:
Es gibt keine weiteren natürlichen Zahlen a,m,b,n > 1 mit der Eigenschaft am = bn + 1.
Der Beweis für diese Behauptung gelang im April 2002 dem rumänischen Mathematiker Dr. Preda Mihailescu an der Universität in Paderborn.
Ein ähnliches Problem ist der Große Fermatsche Satz.
Historie
Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Ca. 1320 bewies Levi ben Gerson (1288–1344; auch unter dem Namen Gersonides bekannt): Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.
Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für a2 - b3 = 1 nur die Lösung a = 3 und b = 2 gibt.
Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen.
Später fand man einige interessante Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d.h. dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.
So zeigte 1976 Robert Tijdeman, dass höchstens endlich viele Zahlen die Gleichung erfüllen.
1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder m und n erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen ("class number condition") oder m und n sind doppelte Wieferich Primzahlen, d.h. sie genügen der Bedingung
- und
Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen m und n an: m < 7,15 * 1011, n < 7,78 * 1016.
Literatur
- Eugène Catalan (1844), Note. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192.