Teilersumme

Unter der Teilersumme einer ganzen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschliesslich der Zahl selbst.

Beispielsweise hat die Zahl 6 die Teiler 1,2,3,6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen ein Rolle, z.B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Seien t₁,t₂,...,t_k alle Teiler der ganzen Zahl n, dann nennt man σ(n) = t₁+t₂+...+t_k die Teilersumme von n. Dabei sind 1 und n selbst in der Menge der Teiler enthalten.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

   σ(6) = 12

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe der echten Teiler der ganzen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst und wir bezeichnen diese Summe mit σ^*(n).

   σ*(6) = 1 + 2 + 3 = 6

Offensichtlich gilt die Beziehung

σ(n) - n = σ^*(n)

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine ganze Zahl n > 1 heisst

defizient oder teilerarm, wenn σ^*(n) < n

abundant oder teilerreich , wenn σ^*(n) > n

vollkommen, wenn σ^*(n) = n

Beispiel:

σ^*(6) = 6, d.h. 6 ist eine vollkommen Zahl.

σ^*(12) = 1+2+3+4+6 = 16, d.h. 12 ist abundant.

σ^*(10) = 1+2+5 = 7, d.h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Sei n eine Primzahl.Dann gilt:

$\sigma (n)=n+1$

Beweis: Da n eine Primzahl ist sind 1 und n die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei n eine Primzahl.Dann gilt:

$\sigma (n^{k})={\frac {n^{k+1}-1}{n-1}}$

Beweis: Da n eine Primzahl ist lauten die Teiler von n^k: n⁰,n¹,...,n^k. Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

σ(2³) = σ(8) = 1+2+4+8 = 15

= (2⁴-1)/(2-1) = (16-1)/1 = 15

Satz 3: Teilersumme des Produktes von 2 Primzahlen

Seien a,b Primzahlen. Dann gilt:

$\sigma (a*b)=\sigma (a)*\sigma (b)$

Beweis:

σ(a*b) = σ(a)            alle Teiler von a
       + σ(b)            alle Teiler von b
       -1                weil 1 doppelt als Teiler von a und b
       + a*b
       = (1+a) + (1+b) -1 +ab
       = a + b + ab +1
       = (a+1) * (b+1)   Nachrechnen
       = σ(a) * σ(b)

Beispiel:

σ(3·5) = σ(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24

σ(3) · σ(5) = (1+3) · (1+5) = 4·6 = 24

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 3

Seien p₁,p₂,...,p_r Primzahlen. Seien k₁,k₂,...,k_r natürliche Zahlen. Ferner sei n = p₁^k₁·p₂^k₂·...·p_r^k_r. Dann gilt:

$\sigma (n)={\frac {p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}*...*{\frac {p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}$

Anwendung

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl n sei x = 3·2ⁿ-1, y = 3·2^n-1-1 und z = 9·2^2n-1-1.
Wenn x,y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2ⁿ·x·y und b = 2ⁿ·z befreundet, d.h. σ^*(a) = b und σ^*(b) = a.

Beweis:

σ^·(a) = σ(a) - a

= σ(2ⁿ·x·y) - a

= (2ⁿ⁺¹-1)(x+1)(y+1) - a (Satz 4)

= (2ⁿ⁺¹-1)(3·2ⁿ)(3·2^n-1) - 2ⁿ(3·2ⁿ-1)(3·2^n-1-1)

= (2ⁿ⁺¹-1)·9·2^2n-1 - 2ⁿ(9·2^2n-1-6·2^n-1-3·2ⁿ⁺¹+1)

= 2·2ⁿ·9·2^2n-1-9·2ⁿ·2^n-1-2ⁿ(9·2^2n-1-9·2^n-1+1)

= 2ⁿ(18·2^2n-1-9·2^n-1-9·2^2n-1+9·2^n-1-1)

= 2ⁿ(9·2^2n-1-1)

= 2ⁿ·z

= b

Analog zeigt man σ^·(b) = a