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1. Affiner Raum
2. Faserung
3. Geschwindigkeit auf krummer Bahn
4. Uhrensynchronisation

Klassische Mechanik

Die klassische Mechanik ist ein Teilgebiet der theoretischen Physik. Die klassische Mechanik beschreibt das Raum-Zeit-Kontinuum und die Bewegung der darin enthaltenen Körper. Der Gültigkeitsbereich der klassischen Mechanik wird eingeschränkt durch zwei Voraussetzungen: Die Relativbewegung zweier (beliebiger) Objekte ist klein im vergleich zu der Lichtgeschwindigkeit (Abgrenzung gegenüber der Relativitätstheorie) und die physikalischen Entitäten sind unterscheidbar (Abgrenzung von der Quantenmechanik). Der bekannteste Anwendungsbereich der klassischen Mechanik ist das Aufstellen und Lösen von Bewegungsgleichungen eines oder mehrerer Körper (z.B. Freier Fall, Pendel, Planetenbahnen, bewegung eines starren Körpers). Daneben gibt es in der klassischen Mechanik eine vielzahl Resultaten, die das qualitative verhalten von komplizierteren Systemen erklären (z.B. Energieerhaltung, Stabilität, Bifurkation, Chaos).

Kurze geschichte der klassischen Mechanik

• Kepler: Entdeckung der Keplerschen Gesetzte, die Bewegung der Himmelskörper beschreiben.

Johannes Kepler

• Galileo: Beschreibung von Pendelbewegungen, Fallgesetze, Entdeckung der Juppitermonde

Galileo Galilei - Portrait von Justus Sustermans, 1636

• Newton: Grundsätze der Mechanik, Gravitationsgesetz, Differentialkalkül,

Datei:Isaac Newton.jpeg

Isaac Newton (Godfrey Kneller, National Portrait Gallery London, 1702)

• Lagrange: Zwangskräfte, Variatonsprinzip

Joseph-Louis Lagrange

• Hamilton: Variationsprinzip, Symplektische Strukture der Mechanik

Datei:W r hamilton.jpeg

William Rowan Hamilton

Moderne Auffassung der Klassischen Mechanik

Historisch gesehen ist die klassische Mechanik der Ausgangspunkt der modernen Physik. Viele alltägliche Phänomene werden durch die klassische Mechanik ausreichend genau beschrieben. Trozdem wurden im verlaufe der Geschichte Phänomene entdeckt, die mit der klassischen Mechanik nicht mehr erklärt werden konnen. In diesen Bereichen wurde die klassische Mechanik durch eine genauere Theorie ersetzt, wie z.B. durch die spezielle Relativitätstheorie oder die Quantenmechanik. Ein wichtiger Testpunkt neuer physikalischen Theorien ist, dass es sich dabei um eine algemeinere Physikalische Theorie handelt, die die klassische Mechanik als Sonderfall enthällt.

Ein Physikalische Theorie setzt sich üblicherweise aus drei Bestandteilen zusammen:

1. Ein Bereich von feststellbaren Tatsachen (Beobachtung, Empirie).
2. Eine mathematische Theorie.
3. Ein Denksystem, mit denen man die Empirie und die Mathematische Theorie zusammen in abhängigkeit stellt.

Historisch wurden die Grundlagen zur Mechanik aus einer vielzahl von Beobachtungen zusammengetragen, und haben ihre verallgemeinerung in einer mathematischen Sprache gefunden. Umgekehrt lassen sich aber auch viele interessante einsichten gewinnen, wenn man den Umgekehrten Weg beschreitet, und die durch die Mathematische Struktur implizierte ideale Welt erforscht. Ein Zitat von Norbert Straumann:

Für den Physiker ist es nicht zulässig, die Geomerie von Raum und Zeit von der überigen physikalischen Gesetzen isoliert zu betrachen. Die Struktur von Raum und Zeit wird durch das Verhalten von Uhren und Masstäben festgelegt, deren Eigenschaften aber andererseids durch physikalische Gesetze bestimmt sind. Desshalb sind nur beide zusammen empirisch verifizierbar.

Das Verhältniss der klassischen Mechanik zur Relativitätstheorie

In gegensatz zu der Relativitätstheorie gibt es in der klassischen Mechanik keine oberste Geschwindigkeit, mit der sich Signale ausbreiten können. So wäre es also auch möglich, dass man alle Uhren in einem klassischen Universum mit einem Unendlich schnellen Signal synchronisieren könnte, was es erlauben würde, eine absolute, überal, in jedem Inertialsystem gültige Zeit einzuführen. Ein Zitat von Hermann Weyl:

Der Glaube an die objektive Bedeutung der Gleichzeitigkeit beruht ursprünglich zweifellos auf der Annahmen, dass jedermann mit voller selbstverständlichkeit die Dinge die er sieht, in dem Zeitpunkt ihrer Wahrnehmung sieht.

In der Relativitätstheorie ist die grösste Geschwindigkeit, mit der sich ein Signal ausbreiten kann, gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Der gültigkeitsbereicht der klassische Mechanik lässt sich nun gegenüber der Relativitätstheorie so abgrenzen, dass wir annehmen, dass wir die Uhren, die wir Benutzen, für unseren zweck annähernd perfekt synchronisieren können. Das wird genau dann der fall sein, wenn die geschwindigkeiten, die wir messen wollen, im vergleich zu der geschwindigkeit, mit der wir die Uhren synchronisieren, klein sind, d.h. $v\ll c$ oder ${\frac {v}{c}}\ll 1$.

Das Verhältniss der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik

Im gegensatz zu der Quantenmechanik lassen sich Massenpunkte mit identischen Observablen (Masse, Ort, Impuls) unterscheiden, während man in der Quantenmechanik von ununterscheidbaren Entitäten ausgeht. Das bedingt, dass klassische Körper in dem Sinne makroskopisch sein müssen, dass sie individuelle Eigenschaften besitzen, die sie unterscheidbar machen. Somit lassen sich z.B. Elementarteilchen nicht als klassische Massenpunkte auffassen. Die Unterscheidbarkeit eines klassischen Teilchens rührt daher, dass, wenn es sich selber überlassen wird, in seinem vorherigen Inertialsystem verharrt. Dies ist in der quantenmechanik nicht der Fall, da ein sich selbst überlassenes Teilchen nicht zwingendermassen in seinem Inertialsystem verharrt. Diese Tatsache kann man in der Quantenmechanik herleiten, in dem man das Schrödinger-Anfangswertproblem für die Wellenfunktion eines Teilchens löst, dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit für einen Zeitpunkt $t=0$ genau an einem Ort lokalisiert ist (ein sogenannter $/delta$-Peak). Die Aufenthaltswahrscheindlichkeit beginnt mit zuhnemender Zeit zu zerlaufen.

• Planksche Strahlungsformel -> Wienscher Teil

Die Sprache der Mechanik

Typischerweise spricht man in der Mechanik von Massenpunkten. Jeder Massenpunkt besitzt eine endliche Masse $m$. Jedem Massenpunkt ist zu jeder Zeit $t$ ein eindeutiger Ort $q=q(t)$ zugeordnet. Zudem besitz jeder Massenpunkt einen Impuls $p=p(t)$, der jeodch auch identisch Null verschwinden kann. Bildlich gesprochen kann man den Impuls als diejenige Eigenschaft eines Körpers zu verstehen, mit der er sich dagegen wehrt, sein aktuelles Ruhesystem zu verlassen. Manchmal spricht man auch von Observablen, wenn man von $q$, $p$ oder $m$ spricht. Wenn man von einem Ereigniss spricht, so meint man ein Ort $q$ zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$. Dies lässt sich kompat schreiben als $(q,t_{0})$ oder auch als $q(t)|_{t=t_{0}}$. Betrachtet man nicht nur den Ort eines Ereignisses, sondern auch den Impuls zu der Zeit $t_{0}$ so spricht man von einem Punkt im Phasenraum. Oft kürzt man einen Punkt im Phasenraum ab durch $(z,t_{0})=(q,p,t_{0})$ oder $z(t)|_{t=t_{0}}:=(q(t),p(t))|_{t=t_{0}}$. Betrachtet man die zeitliche Entwicklung eines Massenpunktes im Phasenraum, so spricht man von Phasenraumbahnen.

Zeit

Da es in der klassischen Mechanik keine oberste Grenze der Signalausbreitung gibt, können in einem klassischen Universum alle Uhren, die sich in einem Inertialsystem befinden, perfekt synchronisiert werden, d.h. die Zeit ist absolut. Dies erlaubt uns, in einem klassischen Universum, zwei Ereignisse $(a,t_{a}),(b,t_{b})$, die zu verschiedenen Zeiten $t_{a},t_{b}$ an verschiedenen Orten $a,b$ geschehen sind, in bezug auf die Zeit, wann sie geschehen sind, miteinander in Relation zu stellen: $(a.t_{a})$ passiert vor $(b,t_{b})$ , $(a,t_{a})$ und $(b,t_{b})$ passieren gleichzeitig, und $(a,t_{a})$ passiert nach $(b,t_{b})$. Nimmt man weiter an, dass man mit den idealen Uhren die Zeit beliebig genau vermessen kann, so lässt sich die Zeit mit den reellen Zahlen identifizieren, auf denen eine Ordnungsrelation gegeben ist:

• Vorzeitig: $t_{a}<t_{b}$
• Glichzeitig: $t_{a}=t_{b}$
• Nachzeitig: $t_{a}>t_{b}$

Aus diesen zeitlichen Relationen lässt sich ein Bedingung dafür finden, wann zwei Ereignisse $(a,t_{a}),(b,t_{b})$ in einem kausalen Zusammenhang stehen können: $(a,t_{a})$ kommt als Ursache von $(b,t_{b})$ genau dann in Frage, wenn $t_{a}<=t_{b}$ ist. Andererseids kann $(b,t_{b})$ nur dann eine Wirkung von $(a,t_{a})$ sein, wenn $t_{b}>=t_{a}$ ist.

Das fürt zu einer typischen Situation in der klassischen Mechanik: Sämtliche Orte in einem klassischen Universum können zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$ in einer kausalen Relation zueinander stehen. Die sollte insofern nicht verwunderlich sein, da wir in der klassischen Mechanik eine beliebig schnelle Signalausbreitung haben. Umgekehrt lässt sich sagen: Eine Raumzeit mit einer solchen kausalen Relation erlaubt die Instantane (zu einem einzigen Zeitpunkt) ausbreitung von Information.

Bemerkung: Instantane ausbreitung von Informationen lässt sich unter anderem bei Experimenten zum Einstein Rosen Podolski Paradoxon messen Greenberg-Horne-Zeilinger Experiment, und führt dort unter anderem zu fundamentalen Schwierigkeiten bei der Interpretation der Quantenmechanik.

Raum

In der klassischen Mechanik geht man davon aus, dass der Raum homogen und isotrop ist. Die homogenität impliziert, dass es keine ausgezeichneten Punkte im Universum gibt. Dies impliziert unter anderem, dass es keine absoluten Distanzangaben gibt. Distanzen können nur relativ zwischen zwei Punkten angegeben werden. Die isotropie impliziert, dass es im klassischen Universum keine ausgezeichnete Richtung gibt. Diese überlegungen führen zum Schluss, dass der Physikalische Raum der klassischen Mechanik durch einen affinen Raum beschrieben werden kann.

Ein Affiner Raum ist ein Trippel $(M,E,+)$ wobei $M$ eine Menge ist, $E$ ein Vektorraum und $+$ eine freie transitive Gruppe auf $M$. Dabei gibt es eine Abbildung von $E\times M\rightarrow M$ welches einem paar $({\vec {v}},P)$ einen Punkt $P+{\vec {v}}$ so zuordnet, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+P={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+P)\qquad {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in E,\quad P\in M$
2. ${\vec {v}}+P=P\quad \Rightarrow {\vec {v}}={\vec {0}}\qquad {\vec {v}}\in E,\quad P\in M$
3. $\forall \quad P,Q\in M\quad \exists !\quad {\vec {v}}\in E,$ so dass $P+{\vec {v}}=Q$

Üblicherweise wird eine konkrete physikalische Situation in konkreten Koordinaten beschrieben. In diesem Zusammenhang spricht man oft von einem Laborsystem, von dem aus gemessen wird.

Bemerkungen: Es ist interessant zu bemerken, dass es in einem klassischen Universum keine möglichkeit gibt, experimentell eine Orientierung des Raumes du bestimmen. Linkshändigkeit und Rechtshändigkeit können zwar experimentell als zwei (verschiedene) Klassen bestätigt werden, aber die absolute bennenung der Linkshändikeit und der Rechtshändigkeit sind unmöglich. Erst das Experiment von Wu erlaubt eine Experimentelle festlegung der Orientirung im Raum mit hilfe der schwachen Wechselwirkung.

Raum-Zeit

In der Dynamik betrachtet man die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems im (Phasen-)Raum. Für die Beschreibung eines Physikalischen Systems ist es sinvoll, davon auszugehen, dass das Laborsystem, von dem aus man die entwicklung des Systems betrachtet, keinen äusseren einflüssent durch Krafteinwirkung unterworfen ist. Da es kein ausgezeichnetes Laborsystem gibt, gibt es beliebig viele gleichwertige Laborsysteme, die sich von einander dadurch unterscheiden, dass sie zueinander entweder in Ruhe sind oder dass sich die Abstände linear in der Zeit ändern. Systeme, die sich in eienr solchen Art und weise zueinander verhalten nennt man Inertialsysteme.

Raum und Zeit können nun (im mathematischen Sinne) als ein Raum-Zeit-Kontinuum aufgefasst werden, in dem sich die physikalische Entwicklung eines Systems abspielt. Dieses Raum-Zeit-Kontinuum kann axiomatische wie folgt beschrieben werden:

Eine Galilei Raum-Zeit ist ein vierdimensionaler affiner Raum $(H,E,+)$ mit folgenden Eigenschaften:

1. Auf dem Differenzenraum $E$ existiert eine linearform $\tau$. Für zwei ereignisse $p,q\in H$ gibt es eine eindeutigen objektiven Zeitunterschied $\tau (p,q)$.
2. Auf dem Unterraum $E_{0}:=\{v\in E|\tau (v)=0\}$ ist eine positiv definite Bilinearform $(\cdot ,\cdot )$ gegeben, d.h. $E_{0}$ ist ein Euklidscher Vektorraum.

Die linearform $\tau$ induziert in der Galilei Raum-Zeit eine Faserung.

Geschwindigkeit

Die weiter Oben eingeführen Begriffe des Ortes $q(t)|_{t=t_{0}}$ ist also ein Punkt im Raum zu einer bestimmten Zeit. Betrachtet man den Ort eines Teilchens nicht nur zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$, sondern sein Aufenthaltsort zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$, so erhällt man den Weg $q(t)$ des Massenpunktes in der Raum-Zeit. Kennt man den Weg eines Massenpunktes, so lässt sich daraus die Geschwindigkeit berechnen, die als Änderung des Ortes per Zeit definiert ist:

$v(t)|_{t=t_{0}}:=\lim _{t_{1}\rightarrow t_{0}}{\frac {q(t)|_{t=t_{1}}-q(t)|_{t=t_{0}}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {d}{dt}}q(t)={\dot {q}}(t)$

Ein inertiales Teilchen Bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

Galileo-Transformation

Die Allgemeinste Relation, mit der sich zwei Inertialsysteme zueinander beschreiben lassen, ist die Galileo Transformation:

• ${\vec {x}}'=R{\vec {x}}+t{\vec {v}}+{\vec {d}}$
• $t'=t+b$

Dabei bezeichnet $R$ eine Rotation im Raum, $d$ eine verschiebung des Masstabes und $b$ eine verschiebung der Zeitskala. Galileo Transformation haben die eigenschaft einer Gruppe:

• Die hintereinanderschachtelung zweier Galileo-Transformationen bilden wieder eine Galileo-Transformation. (Transitivität)
• Es gibt eine ausgezeichnete Galileo-Transformation, die nichts macht (Identität)
• Zu jeder Galileo-Transformation gibt es eine Transformation, die das neue System wieder in das Alte zurückführt (Inversität)

Impuls

Tangentialvektor an $M$ in $x\in M$ definiert als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve $\gamma$ durch $x$ sowie Tangentialraum an den Punkt $x$

Vom mathematischen Standpunkt aus gesehen ist die Geschwindikeit ein Element des Tangentialraumes $T_{q}E$ an einem Punkt $q$ entlang der Teilchenbahn $q(t)$. Da die Tangentialräume an jedem Beliebigen Punkt $q$ die Struktur eines Affinen Raumes besitzen, können diese Räume miteinander Identifiziert werden. Dieser Raum besitzt wiederum die Struktur eines Affinen Vektorraumes. Der Impuls eines Massenpunktes ist nun definiert als das Produkt aus der Geschwindigkeit mit der Mass

$p(t)|_{t=t_{0}}:=m\cdot p(t)|_{t=t_{0}}=m\cdot {\dot {q}}(t)|_{t=t_{0}}$

Kraft, Impulsänderung und Beschleunigung

Das Kräfteparallelogramm

Die Beschleunigung eines Teilchens ist definiert als die Zeitliche änderung seiner Geschwindigkeit:

$a(t)|_{t=t_{0}}:=\lim _{t_{1}\rightarrow t_{0}}{\frac {v(t)|_{t_{1}}-v(t)|_{t_{0}}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {d}{dt}}v(t)|_{t=t_{0}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {d}{dt}}q(t)\right)|_{t=t_{0}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}q(t)|_{t=t_{0}}$.

Die Ursache einer Geschwindigkeitsänderung wird als Kraft ${\vec {F}}$ bezeichnet. Der Proportionalitätsfaktor, der angibt, wie stark sich eine Kraft auf einen Massenpunkt auswirkt, wird träge Masse genannt.

${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$

Hat ein Massenpunkt eine konstante Masse, so bewirkt eine Kraft eine Änderung des Impulses.

${\vec {F}}=m\cdot {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\frac {d}{dt}}(m\cdot v)={\frac {d}{dt}}p$

Experimentelle Untersuchungen konnten bislang keinen Unterschied zwischen der trägen und der schweren Masse finden. Eine Erklärung zu dieser experimentellen Tatsache liefert die Allgemeine Relativitätstheorie.

Die Bewegung eines kräftefreien Körpers ist vollständig dadurch charakterisiert, dass zu jeder Zeit $t$ sein Ort $q(t)$ und seine Geschwindigkeit $v(t)$ bekannt ist.

Fassungen der Klassischen Mechanik

• Vom aufstellen der Bewegungsgleichungen zu Chaos im Phasenraum

Newtonsche Mechanik

Die Grundlagen zur Mechanik schrieb Newton in seinem Buch Mathematische Prinzipien der Naturlehre nieder . Darin sind auch die 3 Newtonschen Axiome zu finden:

1. Jeder Körper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird. seinen Zustand zu ändern.
2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzer Richtung.

Das Gravitationsgesetz von Newton

Das Gravitationsgesetz von Newton ist ein Prototype eines klassischen Gesetzes: Es beschreibt die Kraft, die ein Massenpunkt auf den anderen ausübt:

${\vec {F}}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}}\cdot {\frac {{\vec {r}}_{12}}{r_{12}}}$

Das klassische daran ist, dass die Gravitation Instantan wirkt. Ein körper in einem Klassischen Universum fühlt stets die genaue, aktuelle position aller anderen Körper.

Lagrange Mechanik

Eine wichtige umformulierung der Newtonschen Mechanik entwickelte 1788 Joseph Louis Lagrange. Dabei wird angenommen, dass sich ein Massenpunkt in einem Feld von (stationären) Kräften eine Bahn derart wählt, dass die differenz aus Kinetischer und Potentieller Energie über die gesammte zeit stets minimal ist.

• Euler Prinzip
• Lagrange 1. Art
• Lagrange 2. Art
• Nöther Theorem
• Feldtheorie

Hamiltonsche Mechanik

• Symplektische Geometrie / QM / Symmetrien

Aktuelle Forschung im gebiet der klassischen Mechanik

• Stabilität
• Chaos
• Diffusionsprozesse
• Kontrolltheorie

Einfluss auf andere Physikalische Gebiete

• Kinetische Gastheorie
• Kontinuumsmechanik

Literatur

• Norbert Straumann, Klassische Mechanik. Grundkurs über Systeme endlich vieler Freiheitsgrade. (Lecture Notes in Physics; Bd. 289). Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18527-5
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6
• Goldstein, Poole, Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3
• Waldyr Muniz Oliva, Geometric Mechanics, Springer Lecture Notes In Physiks, ISBN 3-540-44242-1