Raised-Cosine-Filter

Das Raised Cosine Filter, kurz RC (nicht mit einem RC-Glied Widerstand-Kondensator verwechseln!) ist ein in der Nachrichtentechnik angewandtes, realisierbares Impulsformfilter mit flacher Flanke, das die erste Nyquistbedingung erfüllt und keine Intersymbolinterferenz (ISI) erzeugt. Die Implementierung eines solchen Filters wird daher auch als Nyquist-Filter bezeichnet.

Das Raised Cosine Filter, manchmal auch cos²-Filter genannt, verformt einen Dirac-Impuls so, dass der Impuls bei den Vielfachen der Bitfrequenz seinen Nulldurchgang hat. Dadurch kann das Symbol detektiert werden und es tritt keine ISI auf.

Anwendung

Das Raised Cosine Filter wird in der Praxis eigentlich nie angewendet. Dagegen wird das Root Raised Cosine Filter im Mobilfunkbereich in jedem Sender, als auch Empfängern integriert. Das Filter selbst wird hauptsächlich mit Hilfe von digitalen Filtern (DSP, FIR, ...) aufgebaut.

Übertragungsfunktionen

H(f)={\begin{cases}1&0\leq f<(1-\alpha )\\\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4\cdot \alpha }}\left({\frac {f}{B}}-(1-\alpha )\right)\right)&(1-\alpha )\leq f\leq (1+\alpha )\\0&(1+\alpha )<f\leq \infty \end{cases}}

umgestellt ergibt sich:

H(f)={\begin{cases}1&0\leq f<(1-\alpha )\\{\frac {1}{2}}\left(1-\sin \left({\frac {\pi }{2\cdot \alpha }}\left({\frac {f}{B}}-1\right)\right)\right)&(1-\alpha )\leq f\leq (1+\alpha )\\0&(1+\alpha )<f\leq \infty \end{cases}}

Die Bandbreite B berechnet sich $B={\frac {1}{2\cdot T_{s}}}$ mit T_s = Symboldauer.

Damit ergibt sich:

H(f)={\begin{cases}1&0\leq f<{\frac {(1-\alpha )}{T_{s}}}\\{\frac {1}{2}}\left(1-\sin \left({\frac {T_{s}\cdot \pi }{\alpha }}\left(f-{\frac {1}{T_{s}}}\right)\right)\right)&{\frac {(1-\alpha )}{T_{s}}}\leq f\leq {\frac {(1+\alpha )}{T_{s}}}\\0&{\frac {(1+\alpha )}{T_{s}}}<f\leq \infty \end{cases}}

H(f)={\begin{cases}1&0\leq f<{\frac {(1-\alpha )}{T_{s}}}\\{\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {T_{s}\cdot \pi }{\alpha }}\left(f-{\frac {1-\alpha }{2\cdot T_{s}}}\right)\right)\right)&{\frac {(1-\alpha )}{T_{s}}}\leq f\leq {\frac {(1+\alpha )}{T_{s}}}\\0&{\frac {(1+\alpha )}{T_{s}}}<f\leq \infty \end{cases}}

Hinweis: Anstelle von T_s wird öfters auch die Nyquistfrequenz $fn={\frac {1}{2\cdot T_{s}}}={\frac {f_{s}}{2}}$ eingesetzt.

Roll-off-Faktor

Der Roll-off-Faktor $\alpha$ oder r, stellt einen wichtigen Parameter des Filters dar und variiert in den Grenzen $0\leq \alpha \leq 1$ .

Mit einem größer werdenden Roll-off-Faktor nimmt die Bandbreite des Filters zu.

Mit einem kleineren Roll-off-Faktor wird somit die Bandbreite reduziert, jedoch wird es schwerer das Signal wieder zu rekonstruieren, da der kleinere Roll-off-Faktor größere Amplitudenüberschwinger erzeugt, die zu einer falschen Demodulation führen können. In der Praxis wird ein Roll-off-Faktor im Bereich von 0,2 bis 0,5 verwendet (UMTS: $\alpha =0,22$ ).

Die Bandbreite des Filters berechnet sich im Bandpassbereich zu:

B=\left(1+\alpha \right)\cdot f_{s}

Exzessive Bandbreite

Vom Roll-off-Faktor des Filters ist auch die Exzessive Bandbreite (engl.: excess bandwidth) abhängig. Die Exzessive Bandbreite gibt an, bei welcher Datenübertragungsfrequenz der Betrag der Übertragungsfunktion um 6 dB abgefallen ist.

Meist wird die Exzessive Bandbreite auf die Symbolrate $f_{s}$ normiert und in Prozent angegeben. 100 % würden somit einem Roll-off-Faktor von 0 entsprechen.

In der Praxis kann die Exzessive Bandbreite zur Wiederherstellung und somit zur Synchronisation mit der Symbolfrequenz verwendet werden.

Impulsantwort eines RC-Filters

g(t)=\left({\frac {\sin \left({\frac {\pi t}{T_{s}}}\right)}{\frac {\pi t}{T_{s}}}}\right)\cdot \left({\frac {\cos \left({\frac {\alpha \pi \cdot t}{T_{s}}}\right)}{1-\left(2\alpha {\frac {t}{T_{s}}}\right)}}\right)

Man erkennt, dass das Filter einen - Verlauf aufweist, der bei den Vielfachen der Symboldauer bzw. bei der Bitfrequenz Nullstellen hat.

Symbolrate

Die übertragbare Symbolrate eines RC-Filters beträgt:

R_{s}={\frac {1}{T_{s}}}={\frac {2B}{1+\alpha }}

Da im Bandpassbereich die doppelte Bandbreite zur Verfügung steht ergibt sich:

R_{s}={\frac {B_{\mathrm {HF} }}{1+\alpha }}

Im Bandpassbereich liegt die Bandbreiteneffizienz somit bei $2\mathrm {\frac {Symbole/s}{Hz}}$ , bzw. bei binärer Übertragung $2\mathrm {\frac {bit/s}{Hz}}$ .

Root Raised Cosine Filter

Das Root Raised Cosine Filter, kurz RRC, entspricht der Wurzel (engl. root) aus dem Raised Cosine Filter und wird angewendet, wenn die Charakteristik des Raised Cosine auf Sender und Empfänger gleichmäßig verteilt werden soll(Matched Filter Bedingung erfüllt). Ein RRC weist ISI auf.

In der Kette Sender => Empfänger multiplizieren sich die Übertragungsfunktionen der einzelnen RRCs und man erhält als Gesamtübertragungsfunktion die des ISI-freien RC-Filters.

Siehe auch

Adjacent Channel Power

Weblinks