Van-der-Pauw-Messmethode

Die Van-der-Pauw-Messmethode dient zur Bestimmung des elektrischen Flächenwiderstandes und des Hall-Koeffizienten dünner, homogener Schichten beliebiger Form. In der Halbleiterindustrie spielen Messungen des spezifischen Widerstands und des Hall-Koeffizienten eine große Rolle, da sich aus diesen beiden Größen die Ladungsträgerkonzentration und die Elektronenbeweglichkeit ermitteln lässt.

Messung des spezifischen Widerstandes / Flächenwiderstand

Die Messtruktur besteht aus einem beliebig geformten Gebiet ohne Löcher, das auf seinem Rand über 4 Punkte (A-D) kontaktiert ist. An dieser Struktur wird der Widerstand

Ermittlung des Widerstandes $R_{AB,CD}$

$R_{AB,CD}={{U_{C}-U_{D}} \over {I_{AB}}}$ (s. Bild)

gemessen, indem durch die Kontakte A und B ein Strom eingeprägt und die an den Kontakten C und D abfallende Spannung gemessen wird. In entsprechender Weise wird der Widerstand $R_{BC,DA}$ nach zyklischer Vertauschung der Kontakte gemessen.

$R_{BC,DA}={{U_{D}-U_{A}} \over {I_{BC}}}$

Mit Methoden der konformen Abbildung konnte Van-der-Pauw zeigen, dass man aus diesen beiden Widerstandswerten den Schichtwiderstand berechnen kann und dass in diese Rechnung weder die spezielle Form der Struktur noch die Position der Kontakte eingeht (s. Originalarbeit unter Weblink). Es ergibt sich folgende Abhängigkeit:

$exp\left.{\bigl (}-{{\pi d} \over \rho }\right.\cdot R_{AB,CD}{\bigr )}+exp\left.{\bigl (}-{{\pi d} \over \rho }\right.\cdot R_{BC,DA}{\bigr )}=1$

• $\mathbf {\rho }$ spezifische Widerstand
• $d\,$ Schichtdicke.

Wenn sowohl die Schichtdicke als auch die Widerstände $R_{AB,CD}$ und $R_{BC,DA}$ bekannt sind, ergibt sich eine Gleichung mit der gesuchten Unbekannten $\mathbf {\rho }$.

Für eine beliebig geformte Struktur lässt sich der Flächenwiderstand mathematisch allerdings nicht durch eine geschlossene Formel ausdrücken. In der Praxis verwendet man daher eine Form, die mindestens eine Symmetrieachse besitzt und deren Kontakte ebenfalls entsprechend dieser Symmetrie angeordnet sind. Es gilt dann $R_{AB,CD}=R_{BC,DA}$ und für den Flächenwiderstand ergibt sich die Formel

Kleeblattstruktur

$\rho ={{\pi d} \over {ln(2)}}\cdot R_{AB,CD}$

dies lässt sich zu

$\rho \simeq 4.532\cdot d\cdot R_{AB,CD}$

zusammenfassen.

Das Verfahren ist nur für ideale punktförmige Kontakte exakt. Bei Wahl einer geeigneten Form der Messtruktur ist der Einfluss der Kontaktgröße in der Praxis aber vernachlässigbar. In der Halbleiterfertigung werden Strukturen in Form eines Kleeblatts bzw. eines Kreuzes verwendet, um den Flächenwiderstand dünner Schichten, z. B. Poly-Silizium oder Diffusionsgebiete, zu bestimmen.

Messung des Hall-Koeffizienten / Hall-Konstante

Für die Messung des Hall-Koeffiezienten gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die Schichtdickenmessung. Im Gegensatz dazu wird der Strom durch die Kontakte A und C eingeprägt und der Widerstand $R_{AC,BD}$ gemessen. Anschließend wird ein homogenes Magnetfeld Β senkrecht zur Scheibe angelegt. Aufgrund dessen ändert sich $R_{AC,BD}$ um den Wert Δ$R_{AC,BD}$.

Der Hall-Koeffizienten $A_{H}$ ergibt sich durch:

$A_{H}={{d} \over {\mathrm {B} }}\cdot \Delta R_{AC,BD}$

Das Magnetfeld Β bewirkt, dass auf die Ladungsträger q, eine Lorentzkraft, senkrecht zu den Stromlinien und senkrecht zum Magnetfeld wirkt.

${\vec {F}}=q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}$

Die Stromdichte $\mathbf {j}$ lässt sich durch $j=nqv$ ausdrücken. Eine Umformung nach $v_{x}$ und anschließendes einsetzen ergibt eine Feldstärke von:

$E_{H}={\frac {1}{nq}}\,j_{x}B_{z}=A_{\mathrm {H} }\,j_{x}B_{z}$

$E_{H}$ ist proportional zu $j$ und Β.

${\frac {1}{nq}}\,=A_{\mathrm {H} }\,$

ist die Proportionalitätskonstante bzw. der Hall-Koeffizient. Da $q$ bekannt ist lässt sich nun die Konzentration der Ladungsträger $n$ in der Teststruktur bestimmen.

Literatur

• L. J. van der Pauw, A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape, Philips Research Reports 13(1), 1958
• L. J. van der Pauw, A Method of Measuring the Resistivity and Hall Coefficient on Lamellae and Arbitrary Shape, Philips Technical Review 20(8), 1958/59
• L. J. van der Pauw: Philips Technische Rundschau 20, 230 (1959)

Weblink

• http://electron.mit.edu/~gsteele/vanderpauw/vanderpauw.pdf