Topologie (Mathematik)

Die Topologie (von griechisch topos: Ort, Platz und logos: Lehre, Wissen, Wort) ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Einleitung

(Die Einleitung ist sehr oberflächlich gehalten in der Hoffnung dabei auch intuitiv zu sein.)

Die Topologie beschäftigt sich mit topologischen Räumen.
Eine Auflistung und Erklärung von Begriffen aus der Topologie findet man im Topologie Glossar.

Die (mengentheoretische) Topologie formalisiert den Begriff der "Nähe" ("Nähe" ist dabei schwächer als Abstand). Eine Umgebung eines Punktes $p$ ist dann eine Menge, die alle zu $p$ "nahen" Punkte enthält.

Man betrachte z.B. die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ . Der Abstand zwischen der Zahl $a$ und $b$ sei $|a-b|$ . Alle Elemente sind also "weit" (Abstand $\geq 1$ ) voneinander entfernt und die Menge ist diskret: $a$ selber ist der einzige Punkt in einer kleinen Umgebung.

Andererseits betrachte man z.B. die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ . Der Abstand sei so definiert wie oben. Hier findet man zu jeder Zahl $a$ und zu jedem Abstand $\epsilon$ ein weiteres Element $b$ , dessen Abstand zum ersten Element kleiner als $\epsilon$ ist. Hier liegt also kein Element diskret in der Menge, denn eine Umgebung von $a$ enthält alle Punkte, die Abstand $\epsilon$ zu $a$ haben ( $\epsilon$ kann so klein gewählt werden, wie man möchte: Man ist eben nur an den "wirklich nahen" Punkten interessiert, aber $\epsilon$ darf nicht $0$ sein.) Es ist trotzdem nicht möglich, zwei Element mit einer Kurve (die ganz in $\mathbb {Q}$ verläuft) zu verbinden.

Während die beiden obigen Beispiele den Begriff des Abstandes verwenden, besteht die Leistung der (mengentheoretischen) Topologie darin, das Konzept der Nähe auf den Kern reduziert zu haben. Man stelle sich einen Körper im $\mathbb {R} ^{3}$ vor, den man ausbeult und verformt (aber ohne ihn zu zerreissen). Der Abstand zweier Punkte in diesem Objekt hat sich geändert, aber einige Grundeigenschaften sind geblieben, z.B. kann man zwei Punkte, die man vor der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt im Innern.

Eine Abbildung ist stetig, "wenn sie die Nähe erhält". Eine Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , die $x\neq 0$ auf $0$ und $0$ auf $1$ abbildet, ist z.B. nicht stetig, denn Zahlen, die "in der Nähe von $0$ liegen", werden "weit weg" von $f(0)$ abgebildet.

Definition

Dies ist leider noch nicht fertig.

Die Topologie behandelt die Eigenschaften geometrischer Objekte (Kurven, Flächen, Räume), die bei umkehrbar eindeutigen, stetigen Abbildungen erhalten bleiben. Die Topologie hat enge Verbindungen zur Geometrie und zur Gruppentheorie.

Objekte der Topologie

das Möbiusband
der Torus
und viele mehr

Berühmte Topologen

Literatur

Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2000 ISBN 0-521-79540-0