Menge (Mathematik)

„Menge“ ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne „Elemente“ (z.B. Zahlen) zu einer Menge zusammen. Eine Menge kann leer sein („Leere Menge“), niemals aber mehrere Exemplare eines Elements enthalten; diese würden als ein einziges betrachtet.

Begriff und Notation von Mengen

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern ein Behältnis, das nichts enthält.

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden.

Beispiel: M = {blau, grün, rot}. Der Übersichtlichkeit halber verwendet man beim Aufzählen der Elemente meist eine „natürliche“ Ordnung, z.B. die alphabetische Reihenfolge; prinzipiell ist die Reihenfolge beliebig. Es ist unüblich (aber möglich), dabei Elemente mehrfach anzuführen. Da eine Menge dadurch bestimmt ist, welche Elemente sie enthält, ändert sich durch wiederholtes Anschreiben von Elementen oder durch Vertauschen nichts: M = {blau, grün, rot} = {rot, blau, grün, blau}.

Gleichheit von Mengen und Extensionalität

Dieses Beispiel zeigt: Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (v. [[Latein|lat. extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (v. lat. intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen; z. B. G := { x | x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2}, gelesen „sei G die Menge aller x, die die Eigenschaft haben, eine gerade natürliche Zahl und größer als zwei zu sein“, oder kürzer: „sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen >2“.

Es ist teilweise schwer festzustellen, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind.

Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede andere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich.

Andere Schreibweisen

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

die aufzählende Schreibweise M = { blau, grün, rot } kann als eine Abkürzung für die umständlichere Schreibweise M = { x | x = blau oder x = grün oder x = rot } verstanden werden.
bei der elliptischen Schreibweise werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: M = { 3, 6, 9, 12, …, 96, 99 }. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als M = { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = { 4, 6, 8, 10, … } die Menge der geraden, natürlichen Zahlen, die größer sind als 2 (also das obige Beispiel G).
Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie z.B. aus A und B die Schnittmenge M = A $\cap$ B. Diese kann intensional geschrieben werden als M = {x | x ist in A und x ist in B}
ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen, wie gesagt, ihre Elemente. Ist ein Objekt x Element einer Menge M, so schreibt man dafür formal: $x\in \mathbf {M}$ . Die Verneinung (x ist kein Element von M) schreibt man als: $x\notin \mathbf {M}$ .

Teilmenge

Hauptartikel: Teilmenge

Wenn alle Elemente in einer Menge A auch in einer zweiten Menge B enthalten sind, so nennt man Menge A eine Teilmenge von Menge B. Die Menge B enthält dann mindestens so viele Elemente wie die Menge A. Für Teilmengen wird das Zeichen $\subseteq$ verwendet.
Formal: Es ist $\mathbf {A} \subseteq \mathbf {B}$ , wenn aus $x\in \mathbf {A}$ folgt, dass $x\in \mathbf {B}$ ist.
Nach dieser Definition ist jede Menge auch Teilmenge von sich selbst: $\mathbf {A} \subseteq \mathbf {A}$ . Der Unterstrich in dem Zeichen $\subseteq$ soll das andeuten, indem er an ≤ erinnert. Eine echte Teilmenge von $\mathbf {B}$ ist eine Teilmenge, die nicht $\mathbf {B}$ selbst ist, geschrieben $\mathbf {A} \subset \mathbf {B}$ .

Hinweis: Die Notation der Teilmengenrelation ist uneinheitlich, die beiden folgenden Möglichkeiten sind üblich:

$\subseteq$ steht für „Teilmenge“, $\subset$ für „echte Teilmenge“
$\subset$ steht für „Teilmenge“, $\subsetneq$ für „echte Teilmenge“.

Durchschnitt (Schnittmenge, Schnitt)

Datei:AnB.png

Schnittmenge von A und B

Betrachtet man zwei Mengen A und B, so bilden die Elemente, die in jeder der beiden Mengen enthalten sind (also sowohl in A als auch in B), die Schnittmenge von A und B. Das Zeichen dafür ist $\cap$ .
Formal: Es gilt $x\in \mathbf {A} \cap \mathbf {B}$ , wenn $x\in \mathbf {A}$ und $x\in \mathbf {B}$ .

Vereinigung (Vereinigungsmenge, „Summe“)

Vereinigungsmenge von A und B

Die Vereinigungsmenge aus zwei Mengen A und B erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in der einen oder in der anderen Menge enthalten sind (oder möglicherweise auch in beiden). Das Zeichen dafür ist $\cup$ .
Formal: Es gilt $x\in \mathbf {A} \cup \mathbf {B}$ , wenn $x\in \mathbf {A}$ oder $x\in \mathbf {B}$ ; das „oder“ ist hier nicht ausschließend zu verstehen: Wenn beides zutrifft, wird das auch akzeptiert.

Beispiele

Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet {11,22,33,44,55,66,77,88,99}. 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.
Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\lbrace 1,\,2,\,3,\ldots \rbrace$ ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z} =\lbrace \ldots ,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\ldots \rbrace$ .

Verweise

Die moderne Mathematik verwendet die Methoden der Mengenlehre, um den Zahlenbereich der natürlichen Zahlen schrittweise aufzubauen und zu erweitern.
In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt.
Bei unendlichen Mengen treten besondere Probleme auf.
Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen und deren Elementen dienen Mengendiagramme.

Literatur

Kursawe, Klaus: Mengen, Zahlen, Operationen. Scripta Mathematica. Aulis Verlag Deubner: Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0
Gerster, Hans-Dieter: Aussagenlogik, Mengen Relationen. Studium und Lehre Mathematik. Verlag-Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0
Schinköthe, H.: Mengen und Längen, Lehrbuch der elementaren Grundlagen mathematischen Denkens und seiner Entwicklung für die Bereiche: Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Sonderschule, Rechenschwächetherapie. RESI-Verlag: Volxheim 2000 (Libri/BoD) ISBN 3-8311-0701-7

Siehe auch