Eulersche Zahl

Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl $e=2{,}718281828459...$ ist eine irrationale (und sogar transzendente) reelle Zahl.

Die Eulersche Zahl ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion, die aufgrund dieser Beziehung zur Zahl $e$ häufig kurz $e$ -Funktion genannt wird. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine wichtige Rolle.

Definition

Die Zahl $e$ kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man $n\in {\mathbb {N}}$ oder $n\in {\mathbb {R}}$ voraussetzt)
$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots$ als Reihe

Mit $k!$ wird dabei die Fakultät $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k$ bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert $\exp(1)=e^{1}$ der Exponentialfunktion (oder „ $e$ -Funktion“) an der Stelle $1$ ; die Reihenschreibweise entspricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt Null.

Da $e$ eine irrationale Zahl ist, besitzt sie eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung.

In der eulerschen Identität

e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1

wird die Zahl $e$ in einen verblüffend einfachen Zusammenhang mit der imaginären Einheit der komplexen Zahlen und der Kreiszahl $\pi$ gebracht.

Eigenschaften

Die Eulersche Zahl $e$ ist eine irrationale (zum Beweis hier) und sogar transzendente Zahl (zum Beweis nach Charles Hermite 1873 hier). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl $\pi$ nach Ferdinand von Lindemann 1882 ) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen. Der Nachweis der Transzendenz, also der Charakter einer Zahl als nichtalgebraisch, gilt als einer der Meilensteine moderner Mathematik bezüglich der Abzählbarkeit.

Herkunft des Symbols $e$

Der Buchstabe $e$ für diese Zahl wurde zuerst von Euler benutzt, es ist jedoch anzunehmen, dass dies eher aus praktischen Gründen geschah, als in Anlehnung an seinen Namen. Die Buchstaben $a$ , $b$ , $c$ und $d$ waren und sind in der Mathematik häufig benutzt, weshalb $e$ eine gute Wahl für die Eulersche Zahl ist. Der Buchstabe $e$ könnte auch eine Abkürzung für „exponential“ sein.

Weitere Darstellungen für die eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl lässt sich auch durch

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}

oder durch den Quotienten aus Fakultät und Subfakultät approximieren:

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}

Eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots

Die Kettenbruchentwicklung von $e$ weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins unendliche fortsetzt:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dots ]

Die ersten 200 Nachkommastellen von $e$

Die Dezimalbruchentwicklung von $e$ mit Nennung der ersten 200 Nachkommastellen lautet

e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995

\;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274

\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260

\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots

.

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p=100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach $n$ Verzinsungen $K_{n}=K_{0}\,(1+p)^{n}$ , wobei $K_{0}$ das Startkapital, $p$ der Zinssatz, und $n$ die Anzahl der Verzinsungen sind.

In diesem Beispiel sind $K_{0}=1$ und $p=1$ , wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder $p=1/n$ , wenn der Zinszuschlag $n$ mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre $K_{1}=1\cdot (1+1)^{1}=2{,}00$ . Bei halbjährlichem Zuschlag hat man $p=1/2$ , also $K_{2}=1\cdot (1+0{,}5)^{2}=2{,}25$ , also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung ( $p=1/365$ ) erhält man $K_{365}=1\cdot (1+1/365)^{365}=2{,}714567$ . Wenn man momentan verzinst, wird $n$ unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für $e$ .

Interessanterweise ist $e$ auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen (siehe auch Exponentialfunktion#Stochastik): Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält jedes $e$ -te Brötchen keine Rosine, vorausgesetzt, es werden genügend viele Brötchen gebacken. Die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass bei $n$ Brötchen alle $n$ Rosinen in anderen Brötchen sind, ergibt im Grenzwert für $n\to \infty$ :

p=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}

Außerdem schneiden sich die zwei Teilkurven der impliziten Funktion

$x^{y}-y^{x}=0$

im Punkt $P(e/e)$ .

Mehrdimensionale Verallgemeinerungen dieser Funktion setzen sich im n-dimensionalen Raum aus ${\frac {n^{2}-n}{2}}+1$ Teilkurven zusammen, die sich alle in einem Punkt schneiden, dessen Koordinaten sämtlich $e$ betragen. Der Beweis hierfür ist allerdings nicht leicht zu führen.

Siehe auch

Weblinks