Algebraisches Element

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann heißt ein Element a von L algebraisch über K, wenn es ein Polynom mit Koeffizienten in K gibt, das a als Nullstelle hat. Ein Element, für das kein solches Polynom existiert, heißt transzendent über K.

Diese Definition verallgemeinert den Begriff von algebraischen Zahlen und transzendenten Zahlen (die obige Definition liefert diese Begriffe für die Erweiterung C/Q).

Beispiele

Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über Q, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms X²-2, dessen Koeffizienten rational sind.

Pi und e sind transzendent über Q, aber algebraisch über R.

Jedes Element a des Körpers K ist algebraisch über K, denn es ist Nullstelle von X-a.

Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten +,-,*,/ und Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über Q.

Aus der Galoistheorie folgt, dass es aber auch über Q algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen.

Über dem Körper Q_p der p-adischen Zahlen ist e (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für p>2 ist e^p und für p=2 ist e⁴ in Q_p enthalten.

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a aus L (einem Oberkörper von K):

a ist algebraisch über K
die Körpererweiterung K(a)/K hat endlichen Grad, d.h. K(a) ist als K-Vektorraum endlichdimensional.
K[a] = K(a).

Dabei ist K[a] die Ringadjunktion von a an K, die aus allen Elemente von L besteht, die sich als g(a) mit einem Polynom g über K schreiben lassen; K(a) ist dessen Quotientenkörper in L und besteht aus allen Elementen von L, die sich als g(a)/h(a) mit Polynomen g und h über K (h(a) ungleich 0) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L/K, den so genannten algebraischen Abschluss in L.

Minimalpolynom

Ist a algebraisch über K, dann gibt es viele Polynome über K mit g(a)=0. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a, dieses heißt das Minimalpolynom von a über K. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K(a)/K.

Siehe auch: algebraischer Abschluss