Satz von Schwarz

Der Satz von Schwarz ist ein Satz der Mathematik in der Differential- und Integralrechnung mehrerer Variabler. Er besagt, dass die Reihenfolge der partiellen Differentiation (Ableitung) nicht entscheidend für das Ergebnis ist:

Die Funktion f(x,y) mit zwei Variablen x und y besitze in der Umgebung $U_{\varepsilon }(x,y)$ stetige partielle Ableitungen:

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}$, ${\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}$, und ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)$.

Die erste Ableitung differenziert f(x,y) nach x bei festem y (partielle Ableitung nach x), die zweite nach y bei festem x (partielle Ableitung nach y) und die letzte erst partiell f nach x und danach das Ergebnis nach y.

Dann existiert dem Satz von Schwarz zufolge auch:

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right)$

oder kurz

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)$

Oft werden die Klammern weggelassen und man schreibt kürzer:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$