Kondensator (Elektrotechnik)

Schaltzeichen

Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauelement, das im Prinzip aus zwei voneinander isolierten, leitenden Flächen besteht, z. B. zwei Metallplatten oder -folien mit einem Isolator dazwischen. Der Isolator kann beispielsweise aus einem Gas oder einem Gasgemisch (Luft) oder aus Kunststoff bestehen und wird Dielektrikum genannt.

Das linke Schaltzeichen steht für einen einfachen Kondensator, das rechte für einen Elektrolytkondensator.

Kapazität

Datei:Kondensatoren.JPG

Foto mit verschiedenen Kondensatoren

Infolge der Unterbrechung kann elektrische Ladung durch einen Kondensator nicht hindurch fließen; wenn man ihn aber an eine Spannungsquelle anschließt, fließt dennoch solange Strom, bis die Platten elektrisch aufgeladen sind und keine weitere Ladung annehmen. Dies tritt ein, wenn die Kondensatorspannung U_C genauso groß wie die angelegte Spannung U₀ ist. Die eine Platte ist dann positiv, die andere negativ elektrisch geladen. Das Fassungsvermögen eines solchen Ladungsspeichers hängt von seinen Abmessungen und dem Material ab und wird als Kapazität (Formelzeichen: C) bezeichnet. Die Maßeinheit ist Farad.

Ein Farad (SI-Einheitenzeichen F) ist die Kapazität eines Kondensators, der beim Anlegen einer Spannung U von 1 Volt jeweils eine Ladungsmenge Q von 1 Coulomb auf den beiden Platten speichert. Bei idealen Kondensator ist die Kapazität unabhängig vom Widerstand und es gilt:

$C={Q \over U}\ \wedge \ I={dQ \over dt}\ \Rightarrow \ I=C{dU \over dt}$

Für die Maßeinheit gilt:

$[C]=\mathrm {F} ={\mathrm {C} \over \mathrm {V} }$

Datei:Kondensatorformel.PNG

Für einen Plattenkondensator (zwei Metallplatten der Fläche A im Abstand d) berechnet man die Kapazität gemäß:

$C=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot {A \over d}$

Darin ist $\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante,

$\varepsilon _{0}=8{,}85487817\cdot 10^{-12}\ {\mathrm {C} \over \mathrm {V} \mathrm {m} }$

$\varepsilon _{r}$ ist eine für das Isolationsmaterial (Dielektrikum) spezifische dimensionslose Materialkonstante, die Dielektrizitätszahl oder Permittivitätszahl.

Laden und Entladen

Ladevorgang

Schaltung zum Auf- Entladen eines Kondensators

Nach dem Umschalten des Schalters von Stellung (0) auf (1) gilt für die Spannung U(t):

$U(t)=U_{q}\cdot (1-e^{-{t \over \tau }})$,

(vorausgesetzt, der Kondensator war zu Beginn ungeladen: U(0)=0 V). Im Einschaltmoment stellt der Kondensator einen Kurzschluss dar, deshalb muss ein Kondensator immer über einen Vorwiderstand aufgeladen werden. Es gilt:

$I(0)=I_{max}={U_{q} \over R_{1}}$

Für die Stromstärke I(t) gilt:

$I(t)=I_{max}\cdot e^{-{t \over \tau }}$

Die Ladezeit des Kondensator ist proportional zur Größe des Vorwiderstandes R und proportional zu seiner Kapazität C. Das Produkt von Vorwiderstand und Kapazität nennt man die Zeitkonstante $\tau$.

$\tau =R_{1}\cdot C$

Theoretisch dauert es unendlich lange, bis U(t)=U_q ist. Für praktische Zwecke kann man die Ladezeit t_L

$t_{L}=5\cdot \tau$

betrachten, nach der der Kondensator näherungsweise als vollständig geladen angesehen werden kann.

Datei:Ladevorgang.PNG

Die Zeitkonstante τ ist zugleich der Zeitpunkt, an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert erreicht. Nach dieser Zeit wäre der Kondensator auf den Endwert geladen, wenn man ihn mit dem konstanten Strom I_max laden könnte (tatsächlich nimmt die Stromstärke ja mit der Zeit ab).

Herleitung (Ladevorgang)

Zur Herleitung betrachte man folgendes Schaltbild:

Der Ladestrom I ist zeitabhängig: I=I(t), denn er ergibt sich aus der über dem Widerstand R auftretenden Spannungsdifferenz U_B-U(t), wobei U(t) die Spannung ist, auf die der Kondensator zur Zeit t schon geladen ist und U_B die Quellenspannung. Somit gilt

$I(t)={{U_{B}-U(t)} \over R},$

d.h. aufgelöst nach U(t):

$U(t)=U_{B}-IR.$

Die elektrische Ladung auf dem Kondensator ist

$Q(t)=C\cdot U(t).$

Andererseits ist der Strom die zeitliche Ladungsänderung, also

$I(t)={dQ \over dt}=C\cdot {dU \over dt}=-RC\cdot {dI \over dt}.$

Dies ist eine Differentialgleichung für I(t). Sie wird gelöst durch den Ansatz

$I(t)=A\cdot e^{-{t \over \tau }}.$

Damit ist nämlich

${dI \over dt}=-{A \over \tau }\cdot e^{-{t \over \tau }},$

und eingesetzt in die Differentialgleichung

$I(t)=-RC\cdot {dI \over dt}$

erhält man

$A\cdot e^{-{t \over \tau }}=-RC\cdot {-A \over \tau }\cdot e^{-{t \over \tau }}.$

Nach Kürzen von A und der e-Funktion verbleibt

$1={RC \over \tau },$

also $\tau =RC$. A ergibt sich aus der Anfangsbedingung

$I(0)=A\cdot e^{0}=A.$

Damit ist

$I(t)=I(0)\cdot e^{-t \over RC}.$

Für die Spannung folgt

$U(t)=U_{B}-IR=U_{B}-I(0)\cdot R\cdot e^{-t \over RC}.$

Darin ist

$I(0)\cdot R=U(0)=U_{B},$

also

$U(t)=U_{B}-U_{B}\cdot e^{-t \over RC}$

oder

$U(t)=U_{B}(1-e^{-t \over RC}).$

Entladevorgang

Verbindet man die Platten eines geladenen Kondensators über einen Draht oder einen elektrischen Verbraucher (Lampe, Widerstand), so gleichen sich die Ladungen der Platten aus. Es fließt solange Strom, bis beide Platten wieder elektrisch neutral sind.

Schaltet man im anfänglichen Bild den Schalter nach Stellung (2) um, nachdem der Kondensator auf den Wert U_max geladen ist, so entlädt er sich über den Widerstand R₂. Hier ist sowohl die Spannung als auch die Stromstärke zu Beginn am größten. Die Spannung nimmt im Verlaufe der Entladung mit der Zeit gemäß

$U(t)=U_{max}\cdot e^{-{t \over \tau }}$

ab, und der Strom, der mit ihr über den Entladewiderstand R₂ verknüpft ist, zeigt den entsprechenden Verlauf

$I(t)=I_{max}\cdot e^{-{t \over \tau }}$

wobei

$I(t)={U(t) \over R_{2}}$

gilt, und insbesondere zu Beginn (t=0)

$I_{max}={U_{max} \over R_{2}}$

Datei:Entladevorgang.PNG

Herleitung (Entladevorgang)

Zur Herleitung betrachte man folgendes Schaltbild:

Strom und Spannung ändern sich im Verlaufe der Zeit, also I=I(t) und U=U(t), sie sind aber über das ohmsche Gesetz verknüpft:

$U(t)=R\cdot I(t).$

Zur Zeit t ist die elektrische Ladung auf dem Kondensator Q(t). Es gilt

$Q(t)=C\cdot U(t).$

Der Strom ergibt sich aus der zeitlichen Änderung der Ladung; da die Ladung abfließt, steht ein Minuszeichen:

$I(t)=-{dQ \over dt}=-C\cdot {dU \over dt}=-RC\cdot {dI \over dt}.$

Dies ist eine Differentialgleichung für I(t). Sie wird durch den Ansatz

$I(t)=A\cdot e^{-{t \over \tau }}$

gelöst. Dann ist nämlich

${dI \over dt}=-{A \over \tau }\cdot e^{-{t \over \tau }},$

und eingesetzt in

$I(t)=-RC\cdot {dI \over dt}.$

folgt:

$A\cdot e^{-{t \over \tau }}=-RC{{-A} \over {\tau }}e^{-{t \over \tau }}.$

Nach Kürzen von A und der e-Funktion verbleibt nur noch

$1={{RC} \over {\tau }},$

also $\tau =RC.$

Die Konstante A erhält man aus der Anfangsbedingung

$I(0)=A\cdot e^{0}=A.$

Die Lösung der Differentialgleichung ist also

$I(t)=I(0)\cdot e^{-{t \over {RC}}}.$

Damit folgt dann für die Spannung

$U(t)=R\cdot I(t)=R\cdot I(0)\cdot e^{-{t \over {RC}}}=U(0)\cdot e^{-{t \over {RC}}}.$

Da die Exponentialfunktion mit wachsendem t abnimmt, sind zur Zeit t=0 Strom und Spannung maximal, also I_max = I(0) und U_max = U(0).

Selbstentladung

Ein geladener Kondensator entlädt sich mit der Zeit auch über seinen eigenen Isolationswiderstand R_is. Siehe auch: Zeitkonstante

$\tau _{s}=R_{is}\cdot C$

Die Selbstentladezeitkonstante $\tau _{s}$ ist größer je hochwertiger ein Kondensator ist. Üblich sind Werte zwischen 1000 s bis zu 10.000 s (mit s = Einheitenzeichen für Sekunden).

Feldenergie

Ein geladener Kondensator speichert elektrische Energie in dem elektrischen Feld, das zwischen den geladenen Platten besteht. Ist ein Kondensator der Kapazität C auf die Spannung U geladen, so enthält sein Feld die Energie W gemäß:

$W={C\cdot U^{2} \over 2}$

Herleitung (Feldenergie)

Um den Kondensator zu laden, muss man elektrische Ladung von der einen Platte zur anderen transportieren. Je weiter der Kondensator während dieses Vorgangs bereits aufgeladen ist, desto stärker ist das bereits zwischen seinen Platten herrschende elektrische Feld E, desto mehr Kraft muss also ausgeübt werden, um die Ladung von einer Platte zur anderen zu bringen. Während des Ladens wird daher (immer mehr) Arbeit an den bewegten elektrischen Ladungen verrichtet. Am Schluss ist die während des Aufladens verrichtete Gesamtarbeit als Feldenergie gespeichert.

Zu Beginn des Ladens ist die Kraft 0, da noch kein Feld da ist. Am Schluss, wenn der Kondensator voll geladen ist, ist die Kraft auf eine Ladung ΔQ im elektrischen Feld E:

$F=\Delta Q\cdot E=\Delta Q\cdot {U \over d}.$

Da sie von 0 auf diesen Wert anwächst, ist sie im Durchschnitt

${\overline {F}}={1 \over 2}\cdot \Delta Q\cdot {U \over d}.$

Die Kraft wird längs des Weges d (Abstand der Platten) ausgeübt, man verrichtet dabei also jedesmal die Arbeit

$\Delta W={\overline {F}}\cdot d={1 \over 2}\cdot \Delta Q\cdot U.$

Während des Ladens summieren sich die transportierten Ladungen zur Gesamtladung Q und folglich die Arbeit zu

$W={1 \over 2}\cdot Q\cdot U.$

Hat der Kondensator die Kapazität C, so hat er am Ende des Ladens die Spannung U, wobei

$Q=C\cdot U$

gilt. Daher ist die gesamte verrichtete Arbeit und damit die im Kondensator gespeicherte Energie

$W={1 \over 2}\cdot C\cdot U\cdot U={{C\cdot U^{2}} \over 2}.$

Die gleiche Formel kann mittels Integralrechnung wie folgt hergeleitet werden. Die Arbeit ist das Integral

$W=\int _{0}^{U}dW.$

Die Arbeit dW, um eine Ladung dQ zu transportieren, ergibt sich wie oben zu

$dW=F\cdot d=dQ\cdot E\cdot d=dQ\cdot u,$

wenn u die (von der bereits vorhandenen Ladung abhängige) momentane Spannung ist. Wegen

$Q=C\cdot U$

ändert sich die Spannung beim Transport der Ladung dQ um du, wobei

$dQ=C\cdot du$

ist. Folglich wird

$W=\int _{0}^{U}dW=\int _{0}^{U}u\cdot dQ=\int _{0}^{U}u\cdot C\cdot du=C\int _{0}^{U}u\cdot du$

also

$W=C\cdot {1 \over 2}U^{2}={{C\cdot U^{2}} \over 2}.$

Wechselstromverhalten

Beim Anschluss an Wechselspannung (Spannung mit periodisch wechselnder Polung) werden die Platten eines Kondensators ständig von positiv nach negativ und umgekehrt umgeladen. Dadurch fließt ständig Strom in wechselnder Richtung, jedoch zeitlich versetzt zur Spannung ("Phasenverschiebung"): Es muss zunächst Strom fließen, ehe am Kondensator eine Spannung aufgebaut wird, der Strom ist der Spannung (in der Phase um 90°) voraus.

Für die effektive Stromstärke I_eff gilt:

$I_{\mathit {eff}}\ \;\sim \ f$

Wobei f die Frequenz der angelegten Spannung ist.

Zudem gilt der folgende Zusammenhang zwischen effektiver Stromstärke I_eff und Kapazität C des Kondensators:

$I_{\mathit {eff}}\ \;\sim \ C$

Durch das gleichzeitige Vorhandensein von Strom und Spannung kann dem Kondensator ein elektrischer Widerstand X zugemessen werden, der jedoch im Gegensatz zu einem Ohmschen Widerstand keine Leistung in Wärme umsetzt ("Verlustleistung"). Man nennt ihn einen "Blindwiderstand". Wenn f die Frequenz der Wechselspannung und C die Kapazität ist, gilt für den Blindwiderstand:

$X={\frac {1}{2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={\frac {1}{\omega \cdot C}}$

Wobei $\omega =2\cdot \pi \cdot f$ Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit heißt.

Parallelschaltung

Für die Gesamtkapazität gilt:

$C_{ges}=C_{1}+C_{2}+\cdots +C_{n}\,\!$

Wenn man Kondensatoren parallel schaltet, liegt an allen die gleiche Spannung bzw. Potentialdifferenz an.

$C_{ges}={\frac {Q_{ges}}{U}}={\frac {Q_{1}}{U}}+{\frac {Q_{2}}{U}}+\cdots +{\frac {Q_{n}}{U}}\,\!$

Zur Veranschaulichung betrachte man eine Parallelschaltung aus zwei Kondensatoren, die sich nur in ihrer Plattengröße unterscheiden.

Durch die Verbindung entsteht ein Kondensator mit der Plattengröße A₁+A₂. Seine Kapazität ist also:

$C=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot {{A_{1}+A_{2}} \over d}=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot {A_{1} \over d}+\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot {A_{1} \over d}=C_{1}+C_{2}$

Reihenschaltung

Für die Gesamtkapazität gilt:

${\frac {1}{C_{ges}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{C_{n}}}$

Wenn man Kondensatoren in Reihe schaltet, fließt durch alle der gleiche Strom. Der Betrag der Ladungen aller Platten ist gleich groß. Die Summe der Spannungen über den Kondensatoren entspricht der Gesamtspannung.

${\frac {1}{C_{ges}}}={\frac {U_{1}}{Q}}+{\frac {U_{2}}{Q}}+\cdots +{\frac {U_{n}}{Q}}={\frac {U_{ges}}{Q}}$

Zur Veranschaulichung kann man eine Reihenschaltung aus zwei Kondensatoren betrachten, die sich nur im Plattenabstand unterscheiden. Die Verbindung ergibt einen Kondensator mit dem Plattenabstand d₁+d₂.

Die Kapazität ist dann

$C=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot {{A} \over {d_{1}+d_{2}}}$

also

${1 \over C}={{d_{1}+d_{2}} \over {\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot A}}={{d_{1}} \over {\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot A}}+{{d_{2}} \over {\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot A}}={1 \over C_{1}}+{1 \over C_{2}}$

Spannungsfestigkeit

Reale Kondensatoren können nicht bis zu einer beliebigen Spannung aufgeladen werden. Überschreitet man die zulässige Spannung bis zur Durchschlagspannung, so schlägt der Kondensator durch, das heißt, es fließt plötzlich ein erheblich größerer Strom über eine Funkenstrecke oder auf eine ähnliche Art ab. Meist führt das zur Zerstörung des Kondensators (z. B. durch Explosion oder Hitzewirkung) und zu weitergehenden Zerstörungen an den Geräten. Manche Kondensatoren besitzen in gewissen Grenzen die Fähigkeit zur Selbstheilung, wenn der Schaden nicht allzu groß ist.

Polarität

Kondensatoren sind normalerweise symmetrisch aufgebaut. In Spezialfällen muss man jedoch die Polarität beachten:

1. Der Elektrolytkondensator benötigt zum Aufbau seiner Isolierschicht (des Dielektrikums) eine polarisierte Spannung. Er darf nicht mit negativer Polarität betrieben werden, da er sonst zerstört werden kann. Beim Betrieb mit Wechselspannung benötigt er eine geeignete Vorspannung.
2. Gewickelte Kondensatoren sind unsymmetrisch in bezug auf die Außenfläche. Gegebenenfalls ist zu beachten, welche Seite des Kondensatores außen liegt. An diese Schicht wird gewöhnlich, wenn zutreffend, die Masse angeschlossen, und die Größe von Verstimmungen des Kondensators zu verringern.

Temperaturabhängigkeit

Die Kapazität eines Kondensators kann temperaturabhängig sein.

Bauformen

Kondensatoren werden häufig nach der Art des Dielektrikums oder der Elektroden unterschieden.

Kondensatoren mit fester Kapazität

• Keramikkondensator
• Metallpapierkondensator
• Kunststofffolien-Kondensator
• Metallisierter Kunststoffkondensator
• Elektrolytkondensator
  • Aluminium-Elektrolytkondensator
  • Tantal-Elektrolytkondensator
  • Goldcaps

Kondensatoren mit veränderlicher Kapazität und Sonderformen

• Drehkondensator
• Trimmkondensator
• Kondensatormikrofon
• Kapazitätsdiode

Anwendungen

1. Die Energiespeicherung wird in Stromversorgungsgeräten verwendet, um kurzzeitige Spannungsausfälle zu überbrücken.
2. Die Frequenzabhängigkeit des Blindwiderstandes dient dazu, Signale filternd durchzulassen bei Hochpass, Tiefpass und Bandpass.

Auch zum Sperren eines bestimmten Frequenzbereiches können Filter verwendet werden. Ein Filter, das die hohen Frequenzen abschneidet und entfernt, heißt üblicherweise: Höhensperre, Höhenfilter, High Cut, Treble Cut und Rauschfilter. Ein Filter, das die tiefen Frequenzen entfernt, wird eindeutig dargestellt mit: Tiefensperre, Bassfilter, Low Cut, Bass Cut, Trittschallfilter und Rumpelfilter.

1. Zusammen mit einer Spule (Induktivität) wird ein Kondensator in einem Schwingkreis verwendet, der eine bestimmte Resonanzfrequenz besitzt.
2. Durch die isolierenden Eigenschaften des Kondensators kann der Gleichspannungsanteil vom Wechselspannungsanteil getrennt werden.
3. Messverfahren. Durch die Kapazitätsänderung eines mechanisch realisierten Kondensators können Druck, Abstand und Dicke gemessen werden.
4. Da das Laden bzw. Entladen eines Kondensators Zeit in Anspruch nimmt, werden auch einfache Zeitschaltungen mit einem Kondensator realisiert (Bsp.: abfallverzögertes Relais).

Kennzeichnung von Kondensatoren

Bei den Kondensatoren gibt es keine so einheitliche Kennzeichnung wie bei Widerständen. Einige der Möglichkeiten sind unten aufgelistet. Weitere Informationen sind auch über die Weblinks unten zu finden.

• 473: Die ersten beiden Zahlen geben den Wert in Pikofarad an, die dritte, oder auch nicht die Anzahl Nullstellen. Also 473 ist gleich 4 - 7 - 000 pF = 47 nF.
• 3n9: Dies ist ziemlich einfach, dass heißt einfach 3,9 nF
• .33 K 250: Die erste Zahl gibt den Wert in Mikrofarad an, also 0,33 µF = 330 nF. K steht für eine Kapazitätztoleranz von 10 % und 250 für die zugelassene Spannung die angelegt werden kann.
• Sehr oft wird auch bei Elektrolytkondensatoren ein in mehrer Ziffern verschlüsselter Datumscode aufgedruckt um das Herstelldatum erkennen zu können, da Elektrolykondensatoren in Abhängigkeit von der Zeit Ihre Kapazität veringern können; z. B. 2313: 2 = 2002 3 = März 13 = 13, also 13. März 2002. Die Codes sind aber immer unterschiedlich von Hersteller zu Hersteller, da leider nur wenige nach der einheitlichen DIN-Norm gehen.

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Verwandte Themen

• Zeitkonstante
• Spule
• Schwingkreis
• Batterie
• komplexe Wechselstromrechnung

Siehe auch: Elektrische Kapazität - Kapazitiv - Spule (Elektrotechnik) - Induktivität - Induktiv

Weblinks

• Kennzeichnung von Kondensatoren
• Umrechnung: Zeitkonstante und Übergangsfrequenz (Grenzfrequenz)