Mandelbox

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In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde, und ist eine mögliche Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge für den eukldischen Raum.

Eine Mandelbox (Skalierung 2) von vorne

Motivation

Mandelbrotmenge in der Gaußschen Zahlenebene

Die Mandelbrot-Menge lässt sich als Menge aller komplexen Punkte $c$ definieren, wodurch die rekursiv definierte Folge $(f_{c}(n))$ definiert durch

$f_{c}(0)=0,$

$f_{c}(n+1)=f_{c}(n)^{2}+c,$

beschränkt ist. An der Bildungsvorschrift erkennt man, dass eigentlich dieselbe Funktionsvorschrift immer wieder iteriert wird. Eine Verallgemeinerung würde also zu den Julia-Mengen führen. Statt aber Fraktale in $\mathbb {C}$ zu betrachten, könnte man auch eine Verallgemeinerung zum $\mathbb {R} ^{n}$ versuchen. Dabei interpretiert man das Quadrieren als eine Art „Aufblähung“ zu einer Box oder Kugel.

Definition

Geometrische Funktionen

Wir definieren uns $f_{\text{Box}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ folgendermaßen: Für $n=1$ setze man

$f_{\text{Box}}={\begin{cases}-2-x&x<-1\\x-x&-1<x<1\\2-x&x>1\\\end{cases}}$

Anschaulich gesagt „faltet“ man sich hier eine Box im Intervall $]-1,1[$ zusammen. Für $n>1$ setze man

$f_{\text{Box}}(x_{1},\dots ,x_{n})=(f_{\text{Box}}(x_{1}),\dots ,f_{\text{Box}}(x_{n})).$

In den einzelnen Komponenten rechts soll dabei die Funktion im Eindimensionalen bezeichnen.

Die Funktion $f_{\text{Ball}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ definiere man sich durch

$f_{\text{Ball}}={\begin{cases}4x&\ <\lVert x\rVert <{\frac {1}{2}}\\{\frac {x}{\lVert x\rVert }}&{\frac {1}{2}}<\lVert x\rVert <1\\x&\lVert x\rVert \geq 1\\\end{cases}}$

Diese Funktion lässt anschaulich gesagt das Innere einer Sphäre „explodieren“, wobei die erste Bedingung vor allem wegen des Punktes $0$ notwendig ist, da man nicht durch die $0$ dividieren kann.

Mandelbox und Juliabox

Entstehung einer Mandelbox

Die Mandelbox $M_{n,\mu }\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ bezüglich der reellen Parameter $s$, $r$ ist die Menge aller Punkte $c\in \mathbb {R} ^{n}$, wodurch die rekursiv definierte Folge $(f_{\mu ,c}(n))$ definiert durch

$f_{\mu ,c}(0)=0,$

$f_{\mu ,c}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(f_{\mu ,c}(n)))+c,$

beschränkt ist. Die Zahl $\mu$ wird hierbei Skalierungsfaktor genannt.

Eine Julia-Box definiert man sich als Menge aller Punkte $v\in \mathbb {R} ^{n}$, sodass für ein festes $c\in \mathbb {R} ^{n}$ die Folge $(f_{\mu ,v}(n))$ definiert durch

$f_{\mu ,v}(0)=v,$

$f_{\mu ,v}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(f_{\mu ,c}(n)))+c,$

beschränkt ist.

Beispiele

Für $n=2$ und $\mu =1$ erhält man (nach der üblichen Identifikation des $\mathbb {R} ^{2}$ mit $\mathbb {C}$) die Mandelbrot-Menge. Ansonsten hängt das Aussehen der Mandelbox im Wesentlichen von $\mu$ ab. Für $n=3$ kann man folgende computergenerierte Grafiken angeben:

• 
  $\mu =-2$
• 
  $\mu =-1,5$
• 
  $\mu =-1$
• 
  $\mu =3$

Eigenschaften

Rundgang durch eine Mandelbox

• Für $\mu <-1$ gilt: Gilt für ein $(v_{1},\dots v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ die Ungleichung $\vert \max(v_{1},\dots v_{n})\vert >2$, so ist $v\notin M_{n,\mu }$. Daraus folgt unmittelbar, dass $[-2,2]^{n}$ die kleinstmögliche in dem Fraktal erhaltene Box ist. Rechts sieht man ein Beispiel, wenn die Skalierung auf -1,5 gesetzt wird.
• Für $\mu >1$ ist ein Punkt $(v_{1},\dots v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ nicht in $M_{n,\mu }$ enthalten, wenn

$\vert \max(v_{1},\dots v_{n})\vert >{\frac {2(\mu +1)}{\mu -1}}.$

• Im Allgemeinen ergeben sich abhängig vom Wert $\mu$ unterschiedliche Fraktale. Zum jetzigen Stand (2024) sind die Fraktale noch nicht zufriedenstellend charakterisiert worden.

Weblinks

Commons: Mandelboxes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• The Mandelbox Set – Mathematische Beschreibung
• Gallerie und Beschreibung