Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom der elementaren Algebra vom Grad 2 besitzt, also von der Form $x\mapsto ax^{2}+bx+c$ mit der Funktionsgleichung $y=ax^{2}+bx+c$. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Die allgemeine quadratische Funktion

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist $x\mapsto ax^{2}+bx+c$. Ist $a=1,b=0$ und $c=0$ so erhält man die Quadratfunktion.

Definitionsbereich: $D\subseteq \mathbb {R}$
Wertebereich: $W\subseteq \mathbb {R}$

Die Koeffizienten $a,b$ und $c$ bestimmen teilweise direkt den Wertebereich und die Form des Graphen.

Parameter a

Wie der Wert von $a$ die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man $b=0$ und $c=0$ setzt. Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor $x^{2}$.

$a>0$ ... der Graph ist nach oben geöffnet.

$a<0$ ... der Graph ist nach unten geöffnet.

$|a|<1$ ... der Graph ist gestaucht, d.h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.

$|a|>1$ ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für $a=-1$ ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Parameter b

Der Wert des Parameters $b$ hat vor allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiebung des Graphen. Allerdings bewirkt $y=x^{2}+x$ und $y=x^{2}+2x$ gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten. Eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach rechts im Vergleich zur Normalparabel ergibt sich dagegen bei $y=(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$.......

Parameter c

Eine Veränderung des Parameters c bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Wird $c$ um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird $c$ um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Scheitelpunktsbestimmung

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum oder das absolute Maximum. Ob Minimum oder Maximum hängt allein von $a$ ab. Deshalb stellt die rechnerische Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts eine der wichtigsten Aufgaben dar.

• Diese Koordinaten lassen sich direkt auslesen, wenn der Funktionsterm in Scheitelpunktsform umgeformt wird:

$f(x)=a\cdot \left(x-x_{s}\right)^{2}+y_{s}$.

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten $S(x_{s}|y_{s})$. Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch $x_{s}$.

• Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der 1.Ableitung der Funktion den x-Wert des Scheitelpunktes (y-Wert durch Einsetzen):

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b\rightarrow 2ax+b=0\Rightarrow x={\frac {-b}{2a}}$ Wichtig ist nur der letzte Bruch!

$\Rightarrow y=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}\right)+c={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {2b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$

Der Scheitelpunkt diesmal ausgedrückt durch die Koeffizienten a,b und c, lässt sich ohne Umformung der quadratischen Gleichung leicht bestimmen.

Beispiel Bestimmung des Scheitelpunkts aus der Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion

$y=2\cdot x^{2}+4\cdot x+5$

• Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion

$y=2\cdot x^{2}+4\cdot x+5$	Die ursprüngliche Funktionsgleichung
$y=2\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\right)+5$	Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt
$y=2\cdot \left(x^{2}+2\cdot x+1-1\right)+5$	Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt
$y=2\cdot \left(\left(x+1\right)^{2}-1\right)+5$	Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen
$y=2\cdot \left(x+1\right)^{2}-2+5$	Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen
$y=2\cdot \left(x+1\right)^{2}+3$	In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt S( -1 / 3 ) ablesen

• Bestimmung des Scheitelpunktes mit Hilfe der Differentialrechnung

$y=2\cdot x^{2}+4\cdot x+5$	Die ursprüngliche Funktionsgleichung
$y'=4\cdot x+4$	Die 1. Ableitung der Funktion
$4\cdot x+4=0\Rightarrow x=-1$	Bestimmung der Nullstelle der 1.Ableitung durch Gleichsetzen mit Null
$y=2\cdot (-1)^{2}+4\cdot (-1)+5$	x einsetzen in f(x)
$\Rightarrow y=3$	y berechnen

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S( -1 / 3 )

Nullstellen der Quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung f(x)=0 , d.h. der quadratischen Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$.

Die quadratische Funktion als Kegelschnitt

Jede quadratische Funktion (Parabel) lässt sich geometrisch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel darstellen. Genaueres dazu unter Kegelschnitt.

Brennpunkt einer quadratischen Funktion

Eine Besonderheit bei quadratischen Funktionen ist, dass immer ein Brennpunkt im Inneren der Parabel vorhanden ist. Dies wird bei einem Parabolspiegel praktisch genutzt. Man kann Fernsehprogramme empfangen oder mit Sonnenenergie möglichst hohe Temperaturen erzeugen. Siehe auch Parabel (Mathematik).

Wissenswertes über quadratische Funktionen

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichungen haben die Form: $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades oder Polynom 2. Grades.

Deren Graphen werden Parabeln genannt

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Allgemein gilt:

Ist $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$ die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt $S(x_{s}|y_{s})\,$ besitzt, so ist $f(x)=a_{2}(x-x_{s})^{2}+y_{s}\,$ die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.

Hintergrundinformationen

Achsenschnittpunkte

	Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist $P_{y}(0|y_{s})\Rightarrow y_{s}=f(0)$ Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist $P_{xi}(x_{i}|0)\Rightarrow f(x_{i})=0$ für i = 1 ; 2

Hintergrundinformationen

Symmetriebetrachtung

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln. Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt $S(x_{s}|y_{s})\,$ lautet: $x=x_{s}\,$ (hier $x_{s}=3\,$) Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion $x_{1};x_{2}\,$ bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

$x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\Rightarrow S(x_{s}|f(x_{s}))$

Hintergrundinformationen

p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: $x^{2}+px+q=0\,$

p - q - Formel:

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q}}\,$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: $D={\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q$

Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {D}}\,$

Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.

$D>0\Rightarrow L=\{x_{1};x_{2}\}$ Zwei Lösungselemente

$D=0\Rightarrow L=\{x\}$ Ein Lösungselement (Doppellösung)

$D<0\Rightarrow L=\{\}$ Kein Lösungselement

Hintergrundinformationen

Der Satz von Vieta

Sind $x_{1};x_{2}\,$ Lösungen der quadratischen Gleichung $x^{2}+px+q\,$ so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta $x_{1}+x_{2}=-p\,$ und $x_{1}\cdot x_{2}=q$ überprüft werden.

Hintergrundinformationen

Nullstellen und Linearfaktoren

Sind $x_{1}\,$ und $x_{2}\,$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

$f(x)=a_{2}\cdot (x-x_{1})(x-x_{2})$

Hintergrundinformationen

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

$f(x)\,$ sei die Funktionsgleichung einer Parabel und $g(x)\,$ die einer Geraden.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow \,$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow \,$ Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow \,$ Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow \,$ Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Hintergrundinformationen

Schnittpunkt zweier Parabeln

$f(x);g(x)\,$ seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow \,$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow \,$ Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow \,$ Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow \,$ Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

$f(x)-g(x)\Rightarrow \,$ lineare Gleichung $\Rightarrow \,$ Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Hintergrundinformationen

Siehe auch

• Lineare Funktion

Weblinks

• Ganzrationale Funktionen
• Übungen zu Quadratischen Funktionen
• Parabelanalysator Eine umfassende Analyse mit Darstellung des Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte von Parabel und Gerade Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte zweier Parabeln Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Parabel durch drei Punkte Berechnung der Funktionsgleichung und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• http://www.walfra.ch/wikipedia/Quadratische_Funktionen.ppt - PowerPoint Präsentation, ca 15min, Matura Niveau
• http://www.walfra.ch/wikipedia/Quadratische_FU_Schieberegler.xls - ExcelSheet mit zur dynamischen Visualisierung der Funktion in ihrer Grundform