Laplace-Operator

Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace.

Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Allgemeines

Für den Fall von n kartesischen Koordinatenvektoren ist er definiert als

$\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Dabei ist ${\vec {\nabla }}$ der Nabla-Operator. Angewendet auf eine skalare Funktion φ ist auch die Schreibweise

$\Delta \varphi =\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,\varphi \right)={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\varphi \right).$

möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. [[Bild: Die Laplace-Operatoren in anderen Koordinatensystemen unterscheiden sich von demjenigen in kartesischen Koordinaten. Zu deren Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird.

Laplace-Operator in 1 Dimension

Für eine Funktion φ(x) in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.

Laplace-Operator in 2 Dimensionen

Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten mit $\varphi (x,y)$

$\Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}$

in Polarkoordinaten mit $\varphi (r,\phi )$

$\Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}$

oder

$\Delta \varphi ={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}$

Laplace-Operator in 3 Dimensionen

Für eine Funktion φ(x,y,z) von drei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten mit $\varphi (x,y,z)$

$\Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}$

in Zylinderkoordinaten mit $\varphi (\rho ,\phi ,z)$

$\Delta \varphi ={\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}$

in Kugelkoordinaten mit $\varphi (r,\vartheta ,\phi )$

$\Delta \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \vartheta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta \cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\cdot {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}$

Die Greensche Funktion des Laplace Operators hat die Form:

$G_{\Delta }(x,x')=-{\frac {1}{4\pi \|x-x'\|}}+F(x,x')$ mit $\Delta F(x,x')=0$.

Es gilt dann: $\Delta G_{\Delta }(x,x')=\delta (x-x')$ mit der Delta-Distribution $\delta$. Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Bemerkungen

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder ${\vec {a}}$ angewandt werden. $\Delta {\vec {a}}$ wird dann ebenfalls ein Vektorfeld sein. In diesem Fall besteht folgender Zusammenhang :

$\Delta {\vec {a}}=\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \,{\vec {a}}\right)-\operatorname {rot} \left(\operatorname {rot} \,{\vec {a}}\right)$

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung

$\Delta \varphi =0$

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.

Insbesondere im englischsprachigen Raum (und folglich in der englischsprachigen Literatur) wird der Laplace-Operator nicht mit dem Symbol "$\Delta$" bezeichnet. Stattdessen wird die Schreibweise $\nabla ^{2}$ benutzt.

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:

$\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta$

Das kann man als eine Verallgemeinerung des $\Delta$ auf den Minkowski-Raum betrachten.

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Rotationsmatrix so gilt

$\left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right)$

wobei „$\circ$“ für die Verkettung von Funktionen steht.

Siehe auch: Gradient, Divergenz, Rotation.

Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung

Hauptartikel: Laplacefilter

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D: ${\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}$

2D: $\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante:

2D: $\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}$

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

Laplace-Beltrami-Operator

Der Laplace-Operator kann erweitert werden für Flächen, oder allgemeiner Riemannsche und pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator trägt den Namen Laplace-Beltrami-Operator. Er ist definiert wie der Laplace-Operator, also als Divergenz des Gradientenfeldes. Um ihn herzuleiten schreibt man zunächst die Divergenz des Gradienten auf einer Mannigfaltigkeit.

Wenn $g$ für den (pseudo)-metrischen Tensors einer Mannigfaltigkeit steht, ist das Volumen-Element in lokalen Koordinaten gegeben durch

$\mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}$,

wobei $\,dx^{i}$ die 1-Formen sind welche die Dualbasis zu den Basisvektoren

$\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

für das lokale Koordinatensystems bilden. $\,\wedge$ is das Dachprodukt. Hier ist$\,|g|:=|\det g|$ der Betrag der Determinante des metrischen Tensors. Die Divergenz eines Vektorfeldes X in einer Mannigfaltigkeit kann definiert werden als

${\mathcal {L}}_{X}\mathrm {vol} _{n}=({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}$,

wobei $L_{X}$ die Lie-Ableitung entlang des Vektorfeldes X ist. In lokalen Koordinaten erhält man

${\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}X^{i}.$

Hier (und weiterunten) wird die Summenkonvention benutzt, sodass in der obigen Gleichung über i summiert wird.

Der Gradient einer skalaren Funktion f kann definiert werden als inneres Produkt $\,\langle \cdot ,\cdot \rangle$ auf der Mannigfaltigkeit:

$\langle {\mbox{grad}}f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})$

für alle Vektoren $\,v_{x}$ am Punkt x im Tangentialraum $\,T_{x}M$ der Mannigfaltigkeit am Punkt x. Hier ist df die äußere Ableitung der Funktion f; sie ist eine 1-Form mit $v_{x}$. In Lokalkoordinaten erhält man

$\left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f$

Wenn man dies kombiniert, ist die Formel des Laplace-Beltrami-Operators angewandt auf einer skalaren Funktion f (in lokalen Koordinaten) die Folgende:

$\Delta f={\mbox{div grad}}\;f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f$.

Hier, sind $g^{ij}$ die Komponenten des inversen metrischen Tensors $g$, sodass $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$ mit $\delta _{k}^{i}$ sich wie das Kronecker-Delta verhält.

Die obere Definition ist nur gültig für skalare Funktionen $f:M\rightarrow \mathbb {R}$. Um den Laplace-Operator weiter, für Differenzialformen, zu verallgemeinern, muss der Laplace-deRham-Operator definiert werden.

Unter einer lokalen Parametrisierung $u^{1},u^{2}$, kann der Laplace-Beltrami-Operator anhand des metrischen Tensors und der Christoffel-Symbole wie folgt erweitert werden:

$\Delta f=g^{ij}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial u^{k}}})$

Man kann zeigen, dass der Laplace-Beltrami-Operator in den gewöhnlichen Laplace-Operators des Euklidischen Raumes übergeht, wenn man bemerkt, dass er mithilfe der Kettenregel als

$\Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f+(\partial ^{i}f)\partial _{i}\ln {\sqrt {|g|}}$umgeschrieben werden kann.

Wenn, wie im euklidischen Raum , $|g|=1$ gilt, erhält man einfach

$\Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f$

was wiederum der gewöhnliche Laplace-Operator ist. Wenn man die Minkowski-Metrik mit Signatur (+++-) benutzt, erhält man den D'Alembert-Operator. Wichtig ist, dass, wenn man den metrischen Tensor für Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten benutzt, der Laplace-Operator für Zylinder-, bzw. Kugelkoordinaten einfach hergeleitet werden kann, indem die Determinante der Funktionaldeterminante das Volumenelement $\,{\sqrt {|g|}}$ ergibt. Somit ist der Laplace-Beltrami-Operator (und die Metrik) besonders nützlich für Koordinatentransformationen, nicht nur in gekrümmten Räumen, sondern auch im gewöhnlichen flachen Raum.

Man beachte, dass die äußere Ableitung d und -div adjungiert sind:

$\int _{M}df(X)\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}f{\mbox{div}}X\;\mathrm {vol} _{n}$     

wobei die letzte Gleichung eine Anwendung des Stokesschen Satz darstellt. Darüberhinaus,ist der Laplace-Beltrami-Operator symmetrisch:

$\int _{M}f\Delta h\;\mathrm {vol} _{n}=\int _{M}\langle {\mbox{grad}}f,{\mbox{grad}}h\rangle \;\mathrm {vol} _{n}=\int _{M}h\Delta f\;\mathrm {vol} _{n}$

für Funktionen f and h.