Einsteinsche Feldgleichungen

Der nachfolgende Text verwendet die geometrische Interpretation der Einsteinschen Theorie.

Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten:

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

G ist das Symbol für die Gravitationskonstante
c ist das Symbol für die Lichtgeschwindigkeit
$R_{\mu \nu }$ beschreibt die Krümmung der Raumzeit (Riemannscher Krümmungstensor)
R ist das Symbol für den Krümmungsskalar
$T_{\mu \nu }$ ist das Symbol für den Energie-Impuls-Tensor
$g_{\mu \nu }$ repräsentiert den metrischen Tensor der Allgemeinen Relativitätstheorie

Nach der Einsteinschen Theorie bewirkt eine Masse eine Krümmung der Raumzeit (d.h. sowohl des Raumes als auch der Zeit), diese Krümmung macht sich in unserer dreidimensionalen Erfahrungswelt als Gravitation bemerkbar. Die Masse findet sich in der Formulierung der Einsteinschen Feldgleichungen nicht explizit wieder, sie wird durch den Energie-Impuls-Tensor erfaßt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Masse und Energie in der Einsteinschen Theorie äquivalent sind, jede Form der Energie induziert schwere Masse (diese bewirkt Gravitation). Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen- Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) weitere Energieformen (z.B. den Druck, den ein Strahlungs feld ausüben kann).

Die durch $T_{\mu \nu }$ beschriebene Energiedichte bewirkt eine Krümmung der Raumzeit.

Die Krümmung der Raumzeit wird durch $R_{\mu \nu }$ erfasst. R wird aus $R_{\mu \nu }$ abgeleitet.

Bewegungen in der gekrümmten Raumzeit werden durch den metrischen Tensor $g_{\mu \nu }$ bestimmt. Die kürzesten Verbindungslinien in der Metrik heissen Geodäten. Sie bestimmen die Bewegung von Teilchen die nur dem Gravitationsfeld unterworfen sind (d.h. auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken).

Man erkennt in der Struktur der Gleichungen, dass eine Zunahme der Krümmung $R_{\mu \nu }$ einen höheren Energiegehalt $T_{\mu \nu }$ bewirkt, dieser bewirkt wiederum eine stärkere Krümmung. In diesem Sinne ist die Gleichung nicht linear, eine Zunahme der Krümmung kann z.B. auf Grund kosmischer Bewegungen erfolgen (Kollabieren von Galaxienhaufen). Ein solches Kollabieren endet nicht zwangsläufig in einem schwarzen Loch, zur Beschreibung des finalen Zustandes wird der Virialsatz verwendet.