Elektrostatik

Die Elektrostatik befasst sich mit ruhenden elektrischen Ladungen, Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern geladener Körper.

Alltäglich bekannte Phänomene der Elektrostatik beruhen auf sehr hohen elektrischen Spannungen. Als klassisches Beispiele für die elektrostatische Auf- und Entladung von Körpern können Blitze dienen. Die Ladungstrennung liegt hier zwischen Wolken und dem Erdboden vor, die bei Blitzentladung fließenden Ströme sind extrem hoch (>100 Kilo-Ampere). Im Kleinen taucht dieser Effekt auf, wenn man mit Gummisohlen bei trockener Luft über einen Teppichboden schlurft und sich dann bei Berührung von einem Metallgegenstand erdet: Man kriegt eine "gewischt", d.h. es findet eine Spontanentladung statt - bei der nur minimale Ströme (~10 Milli-Ampere) fließen.

Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im antiken Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde mit dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Grundlagen der Elektrostatik

Experimente (mit z.B. Elektroskop, Elektrometer) ergeben folgende Beobachtungen:

Es gibt zwei Arten elektrischer Ladungen: (positiv und negativ).
Geladene Körper üben Kräfte aufeinander aus.
- Gleichnamige Ladungen, d. h. solche mit gleichem Vorzeichen, stoßen sich ab.
- Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
Einige Nichtleiter können durch Reibung geladen werden, siehe Reibungselektrizität.
Ungleichnamige Ladungen können sich absorbieren
- + und - ergibt 0
- ++ und + ergibt +++
- + und ---- ergibt ---

Ladung eines Körpers entsteht durch elektrische Aufladung oder Influenz.

Elektrische Kraftwirkungen sind räumlich nicht lokalisiert!

Modellierung

Faraday's physikalische Felder zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge.
James Clerk Maxwell Mathematische Beschreibung (Maxwellsche Gleichungen).

Das elektrische Feld

Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Es entsteht durch die Anwesenheit von elektrischen Ladungen, der Quelle des elektrischen Feldes . Die abgeleitete SI-Einheit der elektrischen Feldstärke ist:

[E]_{\mathrm {SI} }={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} }}

Die Grundlage der Elektrostatik ist die Maxwell'sche Gleichung

\mathrm {div} {\vec {D}}=\rho \qquad \leftrightarrow \qquad \iint _{A}{\vec {D}}\;\mathrm {d} {\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \;\mathrm {d} V

Das ${\vec {E}}$ -Feld ist mit dem ${\vec {D}}$ -Feld durch die Materialgleichungen verknüpft. Es handelt sich bei beiden Feldern um Vektorfelder. Ein von Null verschiedenes Vektorfeld hat an jedem Ort des Raumes eine bestimmte Stärke und eine bestimmte Richtung.

\mathrm {div} {\vec {D}}=\mathrm {div} (\varepsilon \cdot {\vec {E}})=\varepsilon \cdot \mathrm {div} {\vec {E}}=-\varepsilon \cdot \mathrm {div} \mathrm {grad} \varphi =-\varepsilon \cdot \triangle \varphi =\rho

\triangle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }}\qquad \mathrm {}

(Poisson-Gleichung)

Spezialfälle

Fernfeld einer Punktladung

In der Elektrostatik lässt sich das Feld durch Umformung des Coulomb'schen Gesetzes beschreiben.

Eine mögliche Herleitungsmethode

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

\varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\iiint _{V}{\frac {\rho ({\vec {\tilde {r}}})}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}\;d{\tilde {V}}

Taylorreihen Entwicklung von ${\frac {1}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}$

\varphi ({\vec {r}})\approx \underbrace {\frac {Q_{ges}}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot \Vert {\vec {r}}\Vert }} _{\mbox{Monopolnäherung}}

\varphi _{B}({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\cdot {\frac {Q_{ges}}{\Vert {\vec {r}}\Vert }}

mit

{\vec {E}}({\vec {r}})=-\mathrm {grad} \varphi

erhält man nun:

{\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\cdot {\frac {Q_{ges}}{\Vert {\vec {r}}\Vert ^{2}}}\;{\vec {e}}_{r}

Im Fall einer positiven Ladung zeigt das Feld radial von der Ladung weg, bei einer negativen Ladung zeigt es zur Ladung hin. Die Felder verschiedener Ladungen addieren sich mit gewöhnlicher Vektoraddition.

Kraft des Fernfeldes

Das elektrische Feld bewirkt eine Kraft auf Ladungsträger. Ist das elektrische Feld ${\vec {E}}$ und die Ladung des Teilchens $q$ , so erfährt das Teilchen die Kraft

{\vec {F}}=q{\vec {E}}

.

Zusammen ergibt dies, dass sich gleichnamige Ladungen abstoßen, ungleichnamige hingegen anziehen, und die Kraft zweier Punktladungen aufeinander mit dem Quadrat des Abstandes abfällt:

F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {qQ}{r^{2}}}

Neben dem Feld einer Punktladung ist auch das Feld einer homogen geladenen Kugel, eines Dipols und zweier paralleler geladener Platten (Plattenkondensator) besonders leicht zu berechnen.

Die Elektrostatik ist auf zeitlich konstante elektrische Felder beschränkt. Zur Behandlung zeitlich veränderlicher Felder benötigt man die Elektrodynamik. Nach dieser sind das elektrische und das magnetische Feld nur zwei verschiedene Aspekte eines elektromagnetischen Feldes. Dies führt dazu, dass elektrische Felder nicht nur durch Ladungen, sondern auch durch veränderliche magnetische Felder erzeugt werden können. Zudem bedingt ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld automatisch ein Magnetfeld.

Eine Folge ist, dass das elektrische Feld bewegter Ladungen im Allgemeinen nicht mehr über das Coulomb-Gesetz berechnet werden kann.

Potential und Spannung

Da eine elektrische Ladung im elektrischen Feld eine Kraft erfährt, wird bei ihrer Bewegung durch das elektrische Feld Arbeit verrichtet, bzw. es muss Arbeit verrichtet werden, um die Ladung gegen das elektrische Feld zu bewegen. Da elektrostatische Felder wirbelfrei sind (konservatives Feld), hängt die benötigte Energie nur vom Start- und Zielort ab, nicht vom genauen Weg. "Wirbelfrei" heißt, dass die Rotation eines Feldes Null ist:

\qquad \mathrm {rot} {\vec {E}}=0\quad \leftrightarrow \quad \oint {\vec {E}}\;\mathrm {d} {\vec {s}}=0\qquad

Somit lässt sich eine potentielle Energie der Ladung definieren. Da die Kraft proportional zur Ladung ist, gilt dies auch für die potentielle Energie. Daher kann man die potentielle Energie als Produkt der Ladung und eines Potentials welches sich aus dem elektrischen Feld ergibt, berechnen.

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten bezeichnet man als elektrische Spannung. Das Produkt aus der Ladung eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei Punkten ergibt die Energie, die man benötigt, um das Teilchen vom einen Punkt zum anderen zu bringen. Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist Volt. Gemäß der Definition von Potential und Spannung gilt Volt = Joule/Coulomb.

U_{12}=\int _{\mathrm {Punkt1} }^{\mathrm {Punkt2} }{\vec {E}}\;\mathrm {d} {\vec {s}}\qquad

Das Konzept der Spannung stößt an seine Grenzen, wenn dynamische Vorgänge auftreten. Für veränderliche Magnetfelder lässt sich zwar noch eine Induktionsspannung definieren, jedoch ist diese nicht mehr über eine Potentialdifferenz definierbar. Auch ist die für eine Bewegung der Ladung von einem Punkt zum anderen benötigte Energie nur so lange gleich der Potentialdifferenz zwischen den Punkten, wie die Beschleunigung vernachlässigbar klein ist, da nach der Elektrodynamik beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen aussenden, die ebenfalls in der Energiebilanz berücksichtigt werden müssen.

Die Energie des elektrischen Feldes

In einem Plattenkondensator besteht ein näherungsweise homogenes Feld. Ist die Ladung der einen Platte $Q$ und die der anderen Platte entsprechend $-Q$ , sowie die Plattenfläche $A$ , so hat dieses Feld den Wert

E={\frac {Q}{\varepsilon _{0}A}}

.

Ist der Plattenabstand $d$ , und bringt man eine kleine Ladung $\mathrm {d} Q$ von der einen auf die andere Platte, so muss gegen das elektrische Feld die Arbeit

\mathrm {d} W=F\cdot d=E\mathrm {d} Q\cdot d

.

Wegen der Energieerhaltung muss diese Arbeit zu einer Erhöhung der Energie des Kondensators führen. Diese kann aber nur im elektrischen Feld stecken. Durch den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um