Halbring (Mengensystem)

Ein Halbring oder Semi-Ring ist eine vor allem in der Maßtheorie bedeutsame Struktur eines Mengensystems. Es handelt sich grob gesprochen um ein System von Teilmengen einer Grundmenge, das stabil gegenüber der Schnittmengenbildung („durchschnittsstabil“) und „fast“ stabil gegenüber der Bildung der Differenzmenge ist. Die Definition wurde eingeführt von John von Neumann.

Definition

Ein Mengensystem ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )$ heißt Halbring über $\Omega$, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

(1) $\varnothing \in {\mathcal {S}}$

(2) $\forall A,B\in {\mathcal {S}}:A\cap B\in {\mathcal {S}}$

(3) $\forall A,B\in {\mathcal {S}}\colon \exists C_{1},...,C_{n}\in {\mathcal {S}}$ paarweise disjunkt mit $A\setminus B=C_{1}\cup ...\cup C_{n}$

Ist zusätzlich $\Omega \in {\mathcal {S}}$, so heißt ${\mathcal {S}}$ eine Semi-Algebra.

Bedeutung

Halbringe treten insbesondere als Erzeugendensysteme von σ-Algebren auf. Weil Halbringe durchschnittsstabil sind, ist die von einem Halbring erzeugte σ-Algebra gleich dem erzeugten Dynkin-System.

Ein wichtiger Halbring über der Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist das Mengensystem der links halboffenen Intervalle ${\mathcal {I}}:=\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a\leq b\}$, welches ein wichtiges Erzeugendensystem für die σ-Algebra der Borelmengen auf $\mathbb {R}$ ist.

Quellen

• Skript „Caratheodory's Extension“ bei probability.net
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag 1996, ISBN 3-540-75307-1

Siehe auch

• Mengenalgebra
• Ring (Mengensystem)