Quartische Gleichung

Eine biquadratische Gleichung oder polynomiale Gleichung 4. Grades (auch quartische Gleichung genannt) hat die Form

$Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0\,$

mit komplexen Koeffizienten$A,B,C,D,E\,$ und $A\neq 0$.
(Im Fall $A=0\,$ läge nur eine Gleichung niedrigeren Grades vor.) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich die Gleichung bis auf die Reihenfolge eindeutig in die Form

$A(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0\,$

bringen, wobei $x_{1},x_{2},x_{3}$ und $x_{4}$ die - nicht notwendigerweise verschiedenen - vier Lösungen der Gleichung sind.

Ist $B=0$ und $D=0$, dann lässt sich die Gleichung durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Diese Spezialform wird manchmal in Lehrbüchern als biquadratische Gleichung bezeichnet, um sie gegen den allgemeinen Fall der quartischen Gleichung abzugrenzen.

Geschichte

Die erste geschlossene Lösung der biquadratischen Gleichung fand der italienische Mathematiker Lodovico Ferrari (1522-1565). Diese Lösung veröffentlichte sein Lehrer Gerolamo Cardano 1545 in dem Werk Ars magna de Regulis Algebraicis.

Satz

Voraussetzung: Gegeben sei eine quartische Gleichung $Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0$ mit $A,B,C,D,E,x\in \mathbb {C}$.

Aussage: Dann kann man ihre Lösungen wie folgt angeben:

• Algorithmus 1 (frei nach Ferrari; entnommen aus der englischen Wikipedia Quartic equation):

Zunächst wird die Gleichung mit der Substitution

$x=u-{B \over 4A}$

dahingehend vereinfacht, dass der kubische Koeffizient verschwindet.

Mit den Festlegungen

$\alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},$

$\beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},$

$\gamma ={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},$

reduziert sich die Gleichung zu

$u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0\,$

Falls $\beta =0$, dann löse $u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0$ und berechne $x_{1,2,3,4}=u_{1,2,3,4}-{B \over 4A}$.

Sonst:

$P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,$

$Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},$

$U={\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}$

$y=-{5 \over 6}\alpha -U+{\begin{cases}U=0&\to 0\\U\neq 0&\to {P \over 3U}\end{cases}}\quad ,$

$W={\sqrt {\alpha +2y}}\quad ,$

$x_{1,2,3,4}=-{B \over 4A}+{s\cdot W+r{\sqrt {-(\alpha +2y)-2\left(\alpha +{\beta \over s\cdot W}\right)}} \over 2}.$

$r,s\in \{-1,1\}$ wählen, um alle Lösungen zu erhalten

q.e.f.

Beweis

(konstruktiv)

bis zur Erstellung der deutschen Übersetzung möge die englische Version der Herleitung hinreichen: en:Quartic equation.

Hilfssatz A

Sei P und Q wie oben, dann gilt:

$\lim _{P\rightarrow 0,Q\rightarrow 0}{\frac {P}{3\cdot {\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {Q^{2} \over 4}}+{P^{3} \over 27}}}}}=0$

Beweis: Limes-Rechenregeln (man beachte die höheren Potenzen im Zähler; man beachte, dass P und Q unabhängig von einander gegen 0 streben können):

$\lim _{P\rightarrow 0,Q\rightarrow 0}{\frac {P}{3\cdot {\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}}=$

$\lim _{h\rightarrow \infty ,j\rightarrow \infty }$${\frac {1}{3\cdot h\cdot {\sqrt[{3}]{{1 \over 2\cdot j}+{\sqrt {{1 \over 4\cdot j^{2}}+{1 \over {27\cdot h^{3}}}}}}}}}=$

$\lim _{h\rightarrow \infty ,j\rightarrow \infty }$${\frac {1}{3\cdot {\sqrt[{3}]{{h^{3} \over 2\cdot j}+h^{3}\cdot {\sqrt {{1 \over 4\cdot j^{2}}+{1 \over {27\cdot h^{3}}}}}}}}}=$

$\lim _{h\rightarrow \infty ,j\rightarrow \infty }$${\frac {1}{3\cdot {\sqrt[{3}]{{h^{3} \over 2\cdot j}+{\sqrt {{h^{6} \over 4\cdot j^{2}}+{h^{3} \over 27}}}}}}}=$

$0$

q.e.d.

Es folgt die Richtigkeit der Fallunterscheidung bezüglich der Bedingung U=0.

Spezialformen

B=0 und D=0

In dem Fall lässt sich die Gleichung einfach auf eine quadratische Gleichung zurückführen:

1. Substituieren: $x^{2}$ durch $z$: $Az^{2}+Cz+E=0\qquad \qquad (99)$,
2. Finden: Die Lösungen zu Gleichung (99) $z_{1}$ und $z_{2}$ finden: siehe Quadratische Gleichung,
3. Rück-subsitituieren: $x=\pm {\sqrt {z}}$: $x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}$, $x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}$, $x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}$, $x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}$.

E=0

In diesem Fall ist $x_{1}=0$ eine Lösung der Gleichung. Dann kann man den Faktor $(x-x_{1})$ also $(x-0)$ ausklammern und erhält die Gleichung

$(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D)x=0\,$

Die Lösungen der quartischen Gleichung sind dann 0 und die drei Lösungen der kubischen Gleichung

$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0\,$.

reelle Koeffizienten

Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich Fallunterscheidungen für die möglichen Lösungen angeben. Dies beruht auf folgender Tatsache: Ist die nicht-reelle Zahl $a+bi\ mit\ b\neq 0$ Nullstelle eines beliebigen Polynoms mit reellen Koeffizienten, so ist es auch die konjugiert komplexe Zahl $a-bi\,$ (Beweis). Bei der Zerlegung des zugehörigen Polynoms ergibt das Produkt der beiden Faktoren

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))\,$ ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten, nämlich

$x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}\,$.

Also lässt sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten unabhängig von seinem Grad in lineare und quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen. Es gibt für die quartische Gleichung also drei Möglichkeiten:

• Die Gleichung hat vier reelle Lösungen. Sie zerfällt in vier Linearfaktoren mit reellen Koeffizienten.
• Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Sie zerfällt in zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten.
• Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen. Sie zerfällt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten.

vier reelle Lösungen

Unter den Lösungen können einzelne Lösungen oder solche mit einer Vielfachheit 2, 3 oder 4 sein. (Erläuterung). Im einzelnen gibt es diese Möglichkeiten:

• eine Lösung mit Vielfachheit 4

Beispiel: $2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2=0\,$, zerlegt $2(x+1)^{4}=0\,$

hat die vierfache Lösung $x_{1,2,3,4}=-1\,$

• eine Lösung mit Vielfachheit 3 und eine einfache Lösung

Beispiel: ${1 \over 2}x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-4x=0\,$, zerlegt ${1 \over 2}(x-2)^{3}(x)=0\,$

hat die dreifache Lösung $x_{1,2,3}=2\,$ und die einfache Lösung $x_{4}=0\,$

• zwei Lösungen, jeweils mit Vielfachheit 2

Beispiel: $x^{4}+2x^{3}-11x^{2}-12x+36=0\,$, zerlegt $(x-2)^{2}(x+3)^{2}=0\,$

hat die zweifache Lösung $x_{1,2}=2\,$ und die zweifache Lösung $x_{3,4}=-3\,$

• eine Lösung mit Vielfachheit 2 und zwei einfache Lösungen

Beispiel: $5x^{4}-{15 \over 2}x^{3}-{45 \over 2}x^{2}-{5 \over 2}x+{15 \over 2}=0\,$, zerlegt $5(x+1)^{2}(x-3)(x-{1 \over 2})=0\,$

hat die zweifache Lösung $x_{1,2}=-1\,$ und die einfachen Lösungen $x_{3}=3,x_{4}={1 \over 2}\,$

• vier einfache Lösungen

Beispiel: $x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x=0\,$, zerlegt $(x-2)(x+1)(x+2)x=0\,$

hat die einfachen Lösungen $x_{1}=2,x_{2}=-1,x_{3}=-2,x_{4}=0\,$

zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen

Auch hier kann die reelle Lösung mit Vielfachheit 2 auftreten. Es gibt also diese beiden Möglichkeiten:

• eine reelle Lösung mit Vielfachheit 2 und zwei konjugiert komplexe Lösungen

Beispiel: $x^{4}-4x^{3}+7x^{2}-6x+2=0\,$, zerlegt $(x-1)^{2}(x-(1+i))(x-(1-i))=0\,$

oder mit reellem quadratischen Faktor $(x-1)^{2}(x^{2}-2x+2)=0\,$

hat die zweifache Lösung $x_{1,2}=1\,$ und die konjugiert komplexen Lösungen $x_{3}=1+i,x_{4}=1-i\,$

• zwei einfache reelle Lösungen und zwei konjugiert komplexe Lösungen

Beispiel: $-x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-16x+16=0\,$, zerlegt $-(x-1)(x+2)(x-(2+2i))(x-(2-2i))=0\,$

oder mit reellem quadratischen Faktor $-(x-1)(x+2)(x^{2}-4x+8)=0\,$

hat die einfachen Lösungen $x_{1}=1,x_{2}=-2\,$ und die konjugiert komplexen Lösungen $x_{3}=2+2i,x_{4}=2-2i\,$

zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen

Hier gibt es diese beiden Möglichkeiten:

• zwei konjugiert komplexe Lösungen mit Vielfachheit 2

Beispiel: $x^{4}-4x^{3}+14x^{2}-20x+25=0\,$, zerlegt $(x-(1+2i))^{2}(x-(1-2i))^{2}=0\,$

oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren $(x^{2}-2x+5)(x^{2}-2x+5)=0\,$

hat die zweifachen konjugiert komplexen Lösungen $x_{1,2}=1+2i,x_{3,4}=1-2i\,$

• zwei Paare einfacher konjugiert komplexer Lösungen

Beispiel: $x^{4}-4x^{3}+{21 \over 4}x^{2}-4x+{17 \over 4}=0\,$, zerlegt $(x-i)(x+i)(x-(2-{1 \over 2}i))(x-(2+{1 \over 2}i))=0\,$

oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren $(x^{2}+1)(x^{2}-4x+{17 \over 4})=0\,$

hat die konjugiert komplexen Lösungen $x_{1}=i,x_{2}=-i\,$ und $x_{3}=2-{1 \over 2}i,x_{4}=2+{1 \over 2}i\,$

Pseudo-Code

A, B, C, D, E, a, b, c, P, Q, R, U, y, x1, x2, x3 und x4 können komplexe Zahlen sein.

Demzufolge müssen die Funktionen „sqrt“, „exp“ und „ln“ auf ebensolchen Zahlen definiert sein.

Für B=0 und D=0

• dann

1. Algorithmus aus dem Artikel Quadratische Gleichung auf $Az^{2}+Cz+E=0$ anwenden
2. und $x_{1,2,3,4}$ berechnen

x1 = sqrt(z1);

x2 = -sqrt(z1);

x3 = sqrt(z2);

x4 = -sqrt(z2);

• sonst

a = -3*B*B/(8*A*A) + C/A;

b = B*B*B/(8*A*A*A) - B*C/(2*A*A) + D/A;

c = -3*B*B*B*B/(256*A*A*A*A) + C*B*B/(16*A*A*A) - B*D/(4*A*A) + E/A;

wenn b = 0

• dann

1. löse $u^{4}+au^{2}+c=0$
2. und berechne

x1=u1-B/(4*A);

x2=u2-B/(4*A);

x3=u3-B/(4*A);

x4=u4-B/(4*A);

• sonst

P = -a*a/12 - c;

Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8;

R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27);

wenn R = 0

• dann U = 0;
• sonst U = exp(ln(R)/3);

wenn U = 0

• dann (prüfe, ob P=0 gilt) y = -5*a/6;
• sonst y = -5*a/6 + P/(3*U) - U;

W = sqrt(a+2*y)

x1 = -B/(4*A) + (W + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/W)))/2;

x2 = -B/(4*A) + (-W + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/W)))/2;

x3 = -B/(4*A) + (W - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/W)))/2;

x4 = -B/(4*A) + (-W - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/W)))/2;

Es empfiehlt sich die Probe zu machen...

Beispiele

Beispiel für $P\neq 0\vee Q\neq 0$

> calc
C-style arbitrary precision calculator (version 2.11.5t4.5)
Calc is open software. For license details type:  help copyright
[Type "exit" to exit, or "help" for help.]
> A=1
> B=10
> C=-6
> D=60
> E=36
> a=-3*B^2/A^2/8 + C/A
> a
        -43.5
> b=B^3/8/A^3 - B*C/2/A^2 + D/A
> b
        215
> c=-3*B^4/256/A^4 + C*B^2/16/A^3 - B*D/4/A^2 + E/A
> c
        -268.6875
> P = -a*a/12 - c
> P
        111
> Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8
> Q
        -1120
> R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27)
> R
        43.53376044758258411234
> U = exp(ln(R)/3)
> U
        3.51783442380909981526
> y = -5*a/6 + P/(3*U) - U
> y
        ~43.24999999999999999999
> x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x1
        .77871926215100032617+2.32241174444907628892i
> A*x1^4+B*x1^3+C*x1^2+D*x1+E
        ~.00000000000000000007-~.00000000000000000073i
> x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x2
        ~-.54483004754633870880
> A*x2^4+B*x2^3+C*x2^2+D*x2+E
        ~.00000000000000000014
> x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x3
        .77871926215100032617-2.32241174444907628892i
> A*x3^4+B*x3^3+C*x3^2+D*x3+E
        ~.00000000000000000007+~.00000000000000000073i
> x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x4
        ~-11.01260847675566194353
> A*x4^4+B*x4^3+C*x4^2+D*x4+E
        ~-.00000000000000000335

Beispiel für $P=0\wedge Q=0$

> calc
C-style arbitrary precision calculator (version 2.11.5t4.5)
Calc is open software. For license details type:  help copyright
[Type "exit" to exit, or "help" for help.]
> A=1
> B=0
> C=1
> D=sqrt(-8/27)
> E=-1/12
> a=-3*B^2/A^2/8 + C/A
> a
        1
> b=B^3/8/A^3 - B*C/2/A^2 + D/A
> b
        .54433105395181735515i
> c=-3*B^4/256/A^4 + C*B^2/16/A^3 - B*D/4/A^2 + E/A
> c
        ~-.08333333333333333333
> P = -a*a/12 - c
> P
        0
> Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8
> Q
        ~-.00000000000000000000
> R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27)
> R
        ~-.00000000000000000000
> # U = exp(ln(R)/3)
> U=0
> U
        0
> # y = -5*a/6 + P/(3*U) - U
> y = -5*a/6
> y
        ~-.83333333333333333333
> x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x1
        ~1.22474487139158904909i
> A*x1^4+B*x1^3+C*x1^2+D*x1+E
        ~-.00000000000000000000
> x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x2
        -~.40824829041868291618i
> A*x2^4+B*x2^3+C*x2^2+D*x2+E
        ~-.00000000000000000000
> x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x3
        -~.40824829046386301636i
> A*x3^4+B*x3^3+C*x3^2+D*x3+E
        ~-.00000000000000000000
> x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x4
        -~.40824829050904311654i
> A*x4^4+B*x4^3+C*x4^2+D*x4+E
        ~-.00000000000000000000

Siehe auch

• Lineare Gleichung
• Quadratische Gleichung
• Kubische Gleichung
• Polynom
• Gleichung
• Lösen von Gleichungen

Literatur

siehe Cardanische Formeln

Links

TU-Freiberg – Verschiedene Lösungswege für Gleichungen 4. Grades – (pdf) gut verständlich