Satz von Lindemann-Weierstraß

Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz von e und π folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß. In exakter Form lautet er:

Theorem: Ist α₁,...,α_n eine Folge unterschiedlicher algebraischer Zahlen und β₁,...,β_n eine Folge beliebiger algebraischer Zahlen, wobei nicht alle β_k = 0 sind, dann gilt:

$\beta _{1}e^{\alpha _{1}}+\dots +\beta _{n}e^{\alpha _{n}}\neq 0$

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von e und π zu zeigen.

Folgerungen

Diese Ergebnisse folgen tatsächlich direkt aus dem obigen Theorem:

Wäre e eine algebraische Zahl, so existierten β₀,...,β_n, so dass

$\beta _{n}e^{n}+\dots +\beta _{1}e^{1}+\beta _{0}e^{0}=0\;,$

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Um die Transzendenz der Kreiszahl π zu zeigen gehen wir auch hier zunächst davon aus, dass π eine algebraische Zahl sei. Weil die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bilden, würde folgen dass auch πi und 2πi algebraische sind (für i siehe imaginäre Einheit).

Wenn wir nun β₁ = β₂ und α₁ = πi, α₂ = 2πi wählen, erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß den Widerspruch

$0\neq e^{\pi i}+e^{2\pi i}=-1+1=0$

und dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, also dass π transzendent sein muss.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen e und π vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt. Dieser Beweis findet sich unter den Weblinks.

Weblinks

• Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π, von David Hilbert