Reihe (Mathematik)

Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe, und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa

Animation der Konvergenz der Reihe ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{32}}+\cdots$ gegen 1.

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots .$

Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, sich die unendlich lange Summe also langfristig einem festen Wert immer weiter annähert. In etwa konvergiert die obere Beispielreihe gegen den Wert $1$ (siehe Bild). Allgemein wird eine Reihe $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ mit $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.

Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur Indexmenge zählt, ist die $n$-te Partialsumme die Summe der ersten $n+1$ (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt.

Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton vorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der Integration von Kurven. Als formale Objekte wurden sie im 18. Jahrhundert von Mathematikern wie Leonhard Euler studiert, der ihnen drei Bände seines Gesamtwerkes, den Opera Omnia, widmete. Erst im 19. Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz außen vor ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 konnte Augustin-Louis Cauchy das Fundament der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen legen, und der rigorosen Aufarbeitung einer strengen Analysis, etwa durch Karl Weierstraß, den Weg bereiten. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der Zahlentheorie, ein Objekt intensiver mathematischer Forschung.

Für die Untersuchung einer unendlichen Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach deren Konvergenz, und wenn ja, ihrem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren allgemeinen Methoden. Allerdings wurden Kriterien entwickelt, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern.

Besonders bedeutenden Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über Taylorreihen zu analytischen Funktionen), den Ingenieurswissenschaften (etwa in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung über Fourierreihen), aber auch in der Ökonomie.

Einführung: Unendliche Summierbarkeit und erste Beispiele

Unter einer Reihe versteht man, veranschaulicht, eine niemals endende Summe von Zahlen. Die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl kann zum Beispiel als Reihe aufgefasst werden, etwa

${\frac {1}{3}}=0{,}333333\ldots =0{,}3+0{,}03+0{,}003+0{,}0003+0{,}00003+0{,}000003+\cdots$

oder auch

$\pi =3{,}14159\ldots =3+0{,}1+0{,}04+0{,}001+0{,}0005+0{,}00009+\cdots$

mit der Kreiszahl $\pi$. Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von ${\tfrac {1}{3}}$ periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, denen kein Wert zugeordnet werden kann, etwa

$1+2+3+4+\cdots$

aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die oberen Beispiele mit Grenzwerten ${\tfrac {1}{3}}$ bzw. $\pi$).

Darüber hinaus treten Reihen in vielen Bereichen der Mathematik auf und besitzen zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Klassischerweise treten sie dann in Erscheinung, wenn mathematische Terme beliebig gut angenähert werden sollen oder die Entwicklung (theoretisch) nicht endender Prozesse analysiert wird. Auch in der Physik spielen Reihen eine wichtige Rolle. Eine einfache „Anwendung“ kann über das klassische Paradoxon von Achilles und der Schildkröte gegeben werden:

Der für seine Schnelligkeit bekannte Heros Achilles liefert sich einen Wettkampf mit einer Schildkröte. Beide starten von der gleichen Position aus. Jedoch gewährt Achilles, der einhundert Mal schneller als die Schildkröte ist, dieser 100 Meter Vorsprung. Das Paradoxon besagt nun, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen wird: Hat nämlich Achilles 100 Meter zurück gelegt, so hat sich die Schildkröte in der Zwischenzeit einen Meter von ihrer damaligen Position weiter bewegt. Und läuft Achilles nun auch diesen weiteren Meter, so ist ihm die Schildkröte einen weiteren Zentimeter voraus. Und bewegt sich Achilles diesen Zentimeter, so hat die Schildkröte einen Zehntel Millimeter Vorsprung usw.

Die scheinbare Paradoxie entsteht dadurch, dass die Zeit nicht berücksichtigt wurde. Genau genommen ist die Aussage, dass Achilles die Schildkröte niemals aufholen wird, nicht korrekt. Die in dem Paradoxon aufgeführten Zwischenschritte, in denen die Schildkröte stets einen rasch abnehmenden Vorsprung vor Achilles hat, sind allesamt mit Zeitabschnitten verbunden, die jedoch ebenso rasant abnehmen (zum Beispiel dann, wenn Achilles nur noch einen Zentimeter läuft). Brauchte Achilles für die ersten 100 Meter noch „eine Zeiteinheit“, so wird er für einen Meter nur noch „${\tfrac {1}{100}}$ Zeiteinheiten“ brauchen. Im nächsten Schritt braucht er für einen Zentimeter nur noch „${\tfrac {1}{10\ 000}}$ Zeiteinheiten“. Der Zeitpunkt, an dem Achilles und Schildkröte schließlich die gleiche Position haben werden, ist also, da deren Abstände immer weiter abnehmen gegeben durch die unendliche Reihe

$1+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{10\ 000}}+{\frac {1}{1\ 000\ 000}}+\cdots =1,0101010101\ldots ={\frac {100}{99}}<\infty .$

Obwohl also unendlich viele Terme addiert bzw. Zeitabschnitte betrachtet wurden, entsteht im Grenzwert eine endliche Zahl bzw. wird Achilles nach endlicher Zeit, nämlich nach ${\tfrac {100}{99}}$ Zeiteinheiten, die Schildkröte aufholen.

Definition und Grundlagen

Begriff

Eine Reihe wird selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt.

Für reelle und komplexe Folgen

Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge $\left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}$ gegeben, kann man aus ihr eine neue Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ der Partialsummen bilden. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n+1$ Glieder von $\left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}$, ihre Definition lautet:

$s_{n}:=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}.$

Die Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ der $n$-ten Partialsummen heißt Reihe.

Zu bemerken ist, dass aus der Definition folgt, dass andersherum jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ zu einer Reihe wird, wenn man diese als Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ auffasst. Eine Reihe ist also nichts anderes als eine Folge spezieller „Bauart“, deren Glieder rekursiv durch $s_{0}:=a_{0}$ und $s_{n+1}:=s_{n}+a_{n+1}$ definiert sind. Allerdings führt die einfache rekursive Struktur der Reihen zu vergleichsweise sehr handlichen Konvergenzkriterien, siehe unten.

Konvergenz

Obwohl Reihen auch als formale Objekte studiert werden können, also „ohne Wert“, sind in der Mathematik die Fälle von besonderem Interesse, in welchem sich die Reihe langfristig einem ganz bestimmten Wert annähert. Falls die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$, also die Folge der Partialsummen

$s_{0}=a_{0}$

$s_{1}=a_{0}+a_{1}$

$s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}$

$\vdots$

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\ldots$

konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}$

den Wert der Reihe oder die Summe der Reihe. Dieser ist eindeutig bestimmt und wird meistens als $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ notiert.

Bildliche Veranschaulichung des Konvergenzprinzips. Um den Grenzwert lassen sich beliebig dünne „Schläuche“ mit Breite $\varepsilon >0$ legen, und in jedem noch so dünnen Schlauch liegen fast alle Folgeglieder.

Anschaulich bedeutet Konvergenz, dass sich eine Folge auf Dauer einer reellen oder komplexen Zahl beliebig nah annähert. Da der Umgang mit „dem Unendlichen“ zunächst nicht sinnvoll ist, umgeht man diese Schwierigkeit, indem man den Konvergenzbegriff mit endlichen Mitteln erklärt. Die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ nennt man dann konvergent gegen den Grenzwert $S$, wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl $\varepsilon >0$ einen Index $N(\varepsilon )$ gibt, so dass für alle noch größeren Indizes $N>N(\varepsilon )$

$\left|a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}-S\right|<\varepsilon$

erfüllt ist. Hat eine Reihe $a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ etwa den Grenzwert $1$, so besagt die Wahl $\varepsilon =0,01$, dass alle bis auf endlich viele Partialsummen

$a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{N}$

zwischen $0,99$ und $1,01$ liegen. Ebenso lässt sich mit $\varepsilon =0,0001$ - ab einem gewissen Index liegen also alle Partialsummen zwischen $0,9999$ und $1,0001$ - usw., verfahren. In den meisten Fällen ist dieses Kriterium für Konvergenz jedoch nicht brauchbar, da bereits ein Grenzwert $S$ bekannt sein muss, um es überhaupt anwenden zu können. Es ist im Allgemeinen jedoch überaus schwierig, den Grenzwert einer konvergenten Reihe anzugeben. Dies kann aber leicht umgangen werden, denn es kann gezeigt werden, dass eine Reihe genau dann konvergiert, wenn es für jede Zahl $\varepsilon >0$ einen Index $N(\varepsilon )$ gibt, so dass für alle größeren Indizes $M\geq N>N(\varepsilon )$ bereits

$|a_{N}+a_{N+1}+\cdots +a_{M-1}+a_{M}|<\varepsilon$

gilt. Man bezeichnet dies als das Cauchy-Kriterium, und es kommt ohne Verwendung eines expliziten Grenzwertes aus.

Bedingte und absolute Konvergenz

Konvergenzschema einer alterniernden Reihe, also mit wechselnden Vorzeichen gekoppelt mit monoton gegen Null fallenden Summanden.

Es gibt unterschiedliche Arten der Konvergenz. Dies betrifft nicht die Konvergenzdefinition, die stets dieselbe ist, sondern die „Güte“ der Konvergenz. So kann man zwei Typen konvergenter Reihen angeben: Jene, die gewissermaßen „stabil“ konvergieren, und solche, bei denen größere Vorsicht geboten ist, etwa bei der Umordnung von Summanden.

Eine Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, wenn auch die zugehörige Reihe der Absolutbeträge $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert. Durch das Nehmen der Beträge vergisst man alle möglichen Vorzeichen bzw. Ausrichtungen der $a_{k}$, was Konvergenz erschwert, da dann kein Wegkürzen mehr möglich ist. Etwa ist die alternierende Reihe

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$

konvergent, nicht aber

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .$

Es ist $1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+\cdots$ ein erstes Beispiel einer bedingt konvergenten Reihe, also eine, die nicht absolut konvergiert. Aus mathematischer Sicht ist absolute Konvergenz ein Vorteil, da dies das Rechnen mit Reihen vereinfacht. Etwa ist es im Falle bedingter Konvergenz nicht ohne Weiteres erlaubt, die Reihenfolge der Summanden zu ändern, ohne dabei möglicherweise den Grenzwert zu verändern. Damit entfällt bei bedingt konvergenten Reihen das noch für endliche Summen gültige Kommutativgesetz. Im Gegensatz dazu ist es bei absolut konvergenten Reihen unerheblich, in welcher Reihenfolge summiert wird, da der Grenzwert stets derselbe bleibt.

Überblick zu den Anwendungen

Animation der Approximation des Sinus durch seine Taylorreihe.

Das Konzept der Reihe spielt disziplinübergreifend eine zentrale Rolle in der Mathematik. Hauptanwendungsgebiet ist zunächst die Analysis, jedoch auch alle durch diese Sparte beeinflussten Bereiche, nicht zuletzt angewandte Gebiete wie die Ingenieurswissenschaften. Dabei entfalten Reihen ihre Nützlichkeit zum Beispiel dann, wenn es darum geht, bestimmte Funktionen annähernd auszurechnen, die für Anwendungen zwar nützlich aber dennoch kompliziert sind. Ein Beispiel sind die Winkelfunktionen, etwa der Sinus. Es gibt kein einfaches, „geschlossenes“ Verfahren, für Eingabewerte $x$ den Ausgabewert $\sin(x)$ zu berechnen, aber mittels Reihen können gute Näherungswerte relativ schnell berechnet werden, die in der Praxis ausreichen. Es gilt die Reihenentwicklung

$\sin(x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}+\cdots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{7}}{5040}}+\cdots ,$

kurz:

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}.$

Etwa ist $\sin(1)=0{,}84147098\ldots$, und wegen $1^{2k+1}=1$ für alle $k$, als Näherung bis zum $x^{7}$-Term

$1-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{120}}-{\frac {1}{5040}}\approx 0{,}8414682.$

Geschichte

Anfänge im 17. Jahrhundert

Die Kurve hat dieselbe Länge wie das entsprechende gerade Segment.

Reihen wurden in der Mathematik hauptsächlich eingeführt, um geometrische Probleme zu lösen. Ihre zunächst eher sporadische Verwendung gewann um 1650 an Bedeutung und war zum Beispiel entscheidend für die Entstehung der Infinitesimalrechnung. Besonders zu Zeiten von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz wurden viele Ergebnisse erzielt, und ein großer Teil des frühen Wissens um die Reihen geht auf sie zurück.

Obwohl Reihen schon früher gelegentlich vorkamen, wurden sie in der Mathematik erst ab dem 17. Jahrhundert wirklich bedeutsam. Ihre Verwendung erfolgte vor allem im Zusammenhang mit dem Problem der Quadratur und der Abmessung von Kurven durch Einteilung in lineare Segmente (siehe auch Rektifizierbarkeit). Im 17. Jahrhundert versuchten die Mathematiker, neue Methoden für die Quadratur gekrümmter Linien zu finden, die die Schwierigkeiten der so genannten Exhaustionsmethode vermeiden.

Der Geistliche und Mathematiker Pietro Mengoli veröffentlichte 1650 in einem Werk Novae quadraturae arithmeticae, seu de additione fractionum über Resultate bezüglich unendlicher Reihen, und baute seine Argumente auf zwei Axiomen auf. Unter anderem fand er die Grenzwerte:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+2)}}={\frac {3}{4}},\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}}={\frac {1}{12}}.$

Ferner fragte er nach dem Grenzwert der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$

blieb bei dessen Suche aber erfolglos. Dieses Problem wurde später von Jakob Bernoulli aufgegriffen, und schließlich als Basler Problem bekannt. Erst Leonhard Euler fand den korrekten Grenzwert ${\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$ mit der Kreiszahl $\pi$ im Jahr 1735 und veröffentlichte ihn in seinem Werk De Summis Serierum Reciprocarum.

Isaac Newton im Jahr 1689

Im Jahr 1666 verfasste Newton eine Schrift De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, die zwar erst 1711 publiziert wurde, aber zuvor in Manuskriptform Wellen schlug. In dieser entwickelte er das heute als Newton-Verfahren bekannte Prinzip, Nullstellen einer Funktion numerisch anzunähern. Er betrachtete den Spezialfall analytischer Funktionen, und es gibt nirgends einen Hinweis darauf, dass er das Verfahren auf geometrische Weise erhalten hat. Er wandte diese Technik auf die Umkehrung von Reihen an und gewann unter anderem dadurch die Reihenentwicklungen für Sinus und Kosinus. Durch Inspiration über das von John Wallis verfasste Werk Arithmetica infinitorum entdeckte er zudem die allgemeine Binomialreihe, in heutiger Notation

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+\cdots \quad (\alpha \in \mathbb {R} ,|x|<1)$

die sich zur numerischen Annäherung von Wurzeln eignet. Dies geht aus einem Brief von Newton an Leibniz aus dem Jahre 1676 hervor. Newton hat für sein Theorem jedoch nie einen Beweis geliefert, denn für ihn gab es genug numerische und experimentelle Evidenz.

Fast zur gleichen Zeit, ab 1672, befasste sich Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Theorie der unendlichen Reihen. Diese spielte eine wichtige Rolle bei seinen späteren Beiträgen zum Aufbau der Infinitesimalrechnung. Leibniz untersuchte Reihen oft mit einer geometrischen Fragestellung oder Anschauung; Beispiele hierfür sind seine Behandlung der geometrischen Reihe und der berühmten Leibniz-Reihe

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}},$

die er über die Geometrie des Kreises erklärte.

18. Jahrhundert

Im Laufe des 18. Jahrhunderts wurde die hauptsächlich von den Widersachern Netwon und Leibniz initiierte Theorie der unendlichen Reihen systematisch ausgebaut. Einen ersten Höhepunkt erlebte sie durch das Werk Methodus incrementorum von Brook Taylor, das 1715 veröffentlicht wurde. In diesem entwickelte Taylor die heute nach ihm benannte Taylorreihe

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},$

systematisch, also die Möglichkeit, eine hinreichend gute Funktion anhand all ihrer Ableitungen in einem Punkt in Umgebung dieses Punktes zu rekonstruieren. Dieser Ansatz war bereits Newton bekannt gewesen, jedoch hatte er diesbezüglich nur kurze Ausführungen geliefert und es bleibt unklar, ob er die Wichtigkeit der Potenzreihen richtig einschätzte. Diese wurde in den folgenden Jahren jedoch zunehmend erfasst. Abraham de Moivre bewies einen Satz über Potenzreihen zu rekursiven Folgen, und erkannte, wie andere Mathematiker diese Zeit, dass diese eng mit sog. charakteristischen Polynomen der entsprechenden Rekursion zusammenhingen. Etwa gab Daniel Bernoulli 1728 mit deren Hilfe eine geschlossene Formel für die sonst nur über eine Rekursion definierte Fibonacci-Folge an.

James Stirling argumentierte in seiner 1730 publizierten Methodus differentialis, dass langsam konvergente Reihen „ebenso unnütz“ wie divergente Reihen seien, und präsentierte Verfahren, um die Konvergenz gewisser Reihen zu beschleunigen. Diese sollten auch dazu dienen, die Werte gewisser endlicher Summen schnell ausrechnen oder zumindest approximieren zu können. Unter seinen Entdeckungen fand sich auch die nach ihm benannte Stirlingformel, welche die Fakultät einer natürlichen Zahl über einen asymptotischen Reihenausdruck sehr schnell für große $n$ annähert. Die 1742 von Colin Maclaurin veröffentlichte Euler-Maclaurin-Formel, die zeitgleich auch von Euler entdeckt und genutzt wurde, und Arbeiten von Newton zur geometry of fluxions aufgriff, ging in eine ähnliche Richtung. Mit ihrer Hilfe konnte Maclaurin neue Beweise zu Aussagen von Newton und Stirling über Taylorreihen anfertigen, und die Reihenkonvergenz durch seinen neuartigen Zugang in einigen Fällen beschleunigen.

Besonders wichtige Beiträge zur Theorie der Reihen lieferte jedoch Leonhard Euler. Sie galten als eines seiner Lieblingsthemenfelder, und alleine drei Bände seiner Opera Omnia sind ihnen gewidmet. Zahlreiche bedeutende Entdeckungen seinerseits fußen letztlich auf seiner Intuition beim Umgang mit ihnen. Darunter fallen seine Verallgemeinerung der Fakultät über die Gammafunktion, die Lösung des Basler Problems und zahlreiche weitere gefundene Grenzwerte bestimmter Reihen, wie etwa

${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{63}}+{\frac {1}{80}}+{\frac {1}{255}}+{\frac {1}{624}}+\cdots ={\frac {7}{4}}-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\quad$ (die Nenner sind „perfekte Quadrate Minus 1, die selbst auch andere Potenzen waren“, etwa $16=4^{2}=2^{4}$ usw.)

sowie seine Entdeckung der Euler-Maclaurin-Formel im Jahr 1732 (Beweis 1736). Euler zog praktischen Nutzen aus dieser Formel, um unendliche Reihen, die langsam konvergieren, schnell numerisch anzunähern. So gab er gute Näherungen für die Werte $\zeta (3)$ und $\zeta (4)$, wobei $\zeta (s)$ die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet, und fand $\zeta (2)$ auf 20 Stellen genau:

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\approx 1{,}64493406684822643647.$

Erwiesenermaßen etablierte Eulers ursprüngliche Methode der Berechnung von $\zeta (m)$ für höhere Werte von $m$ die numerische Mathematik als ein neues Forschungsgebiet. Neuartig war auch sein Zugang zur Zahlentheorie über unendliche Reihen. Euler konnte beweisen, dass

$\sum _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots =\infty$

und deutete sein Resultat dahingehend, dass Primzahlen dichter in den natürlichen Zahlen liegen müssten als Quadratzahlen. Es war zudem Euler, der als erster divergente Reihen systematisch untersuchte.

Nach 1760 entwickelte sich die Theorie der unendlichen Reihen schließlich maßgeblich in die Richtung, die Euler vorgegeben hatte. Der formale Zugang (es wurden etwa Fragen der Konvergenz oft ignoriert, und Terme wurden abstrakt umgeformt) bereitete vielen bemerkenswerten Resultaten den Boden, etwa der Lagrangeschen Inversionsformel, 1768 gezeigt von Joseph-Louis Lagrange in seiner Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries, und der Theorie erzeugender Funktionen von Pierre-Simon Laplace. Im Jahr 1797 konnte Lagrange schließlich die Theorie der analytischen Funktionen konstruieren mit dem Ziel, die Differentialrechnung rein durch formale Betrachtungen aufzubauen.

19. Jahrhundert

Augustin-Louis Cauchy

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts fand die formale Herangehensweise an die Theorie der unendlichen Reihen, also etwa jenseits von Fragen der Konvergenz, zunehmend Ablehnung. Ziel war es, zu einem „quantitativen Verständnis“ von Reihen zu gelangen. Die erste Arbeit in diese Richtung stammt von Carl Friedrich Gauß aus dem Jahr 1813. Zuvor hatte Joseph Fourier bereits Reihen trigonometrischer Funktionen untersucht, dabei aber einen unterschiedlichen Ansatz gewählt als vorher Euler und Lagrange. Schließlich gab Augustin-Louis Cauchy die erste systematische Abhandlung eines rein quantitativen Zugangs zur Theorie der Reihen im Jahr 1821. Ein wesentlicher Grund, weshalb die formale Herangehensweise nicht mehr breite Akzeptanz fand, war, dass sie an einen Punkt gelangt war, an der die Analysis nicht weiter wachsen konnte. Cauchy erklärte dazu:

„Was die Methoden anbelangt, so habe ich mich bemüht, ihnen die ganze Strenge zu geben, die man in der Geometrie braucht, um niemals auf die Argumente zurückgreifen zu müssen, die aus der Allgemeinheit der Algebra stammen. Derartige Begründungen, die zwar allgemein anerkannt sind, insbesondere beim Übergang von konvergenten zu divergenten Reihen und von reellen Größen zu imaginären Ausdrücken, können, wie mir scheint, nur manchmal als Induktionen betrachtet werden, die geeignet sind, die Wahrheit darzustellen, die aber wenig geeignet sind, die in den mathematischen Wissenschaften so gepriesene Exaktheit zu erreichen. Gleichzeitig muss man feststellen, dass sie dazu neigen, den algebraischen Formeln eine unbestimmte Ausdehnung zuzuschreiben, während in Wirklichkeit der größte Teil dieser Formeln nur unter bestimmten Bedingungen und für bestimmte Werte der in ihnen enthaltenen Mengen existiert. Indem ich diese Bedingungen und Werte bestimme und den Sinn der von mir verwendeten Bezeichnungen genau festlege, lasse ich jede Ungewissheit verschwinden; und dann handelt es sich bei den verschiedenen Formeln um nichts anderes als um Beziehungen zwischen reellen Größen, Beziehungen, die immer leicht zu überprüfen sind, wenn man die Größen selbst durch Zahlen ersetzt. Um diesen Prinzipien treu zu bleiben, war ich zugegebenermaßen gezwungen, mehrere Vorschläge zu akzeptieren, die auf den ersten Blick etwas hart erscheinen. Zum Beispiel: Eine divergente Reihe hat keine Summe.“

– Augustin-Louis Cauchy

Im weiteren Verlauf verlagerte sich der Forschungsschwerpunkt entsprechend auf den „quantitativen Umgang“ mit Reihen, der sich in vielerlei Hinsicht als Schwieriger und gleichzeitig fruchtbarer erwies. So kam die Frage nach Kriterien auf, wie man entscheiden könnte, ob eine unendliche Reihe überhaupt konvergiert. Beiträge in diese Richtung stammen unter anderem von Niels Henrik Abel, Augustin-Louis Cauchy, Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Carl Friedrich Gauß. In dieser Zeit machten sich auch Cauchy und Karl Weierstraß um den Aufbau der modernen Funktionentheorie verdient. Besonders Weierstraß verwendete dafür sysmtematisch eine moderne, bis heute gebräuchliche, Theorie der Potenzreihen. In seinem 1859 verfassten Artikel Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. nutzte Bernhard Riemann diese „strenge“ Funktionentheorie, um Primzahlen zu untersuchen. Die Schwierigkeit lag darin, der Reihe

$1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$

auch außerhalb ihren Konvergenzbereichs einen „quantitativen Sinn“ zu geben. Zuvor hatte Euler ebenfalls diese sog. Zetafunktion studiert, jedoch nur als formales Objekt und nicht über den komplexen Zahlen, weshalb ihm strenge Beweise, etwa für ihre Funktionalgleichung, verwehrt geblieben waren.

Rechnen mit Reihen

Im Gegensatz zu gewöhnlichen (endlichen) Summen gelten für Reihen einige übliche Regeln der Addition nur bedingt. Man kann also nicht bzw. nur unter bestimmten Voraussetzungen mit ihnen wie mit endlichen Summenausdrücken rechnen. Es stellen sich grundsätzlich die Fragen:

• Wie kann man Reihen addieren, und wie wirkt sich das auf Konvergenz und Grenzwerte aus?
• Wie kann man Reihen multiplizieren, und wie wirkt sich das auf Konvergenz und Grenzwerte aus?

Summen und Vielfache

Man kann konvergente Reihen gliedweise addieren, subtrahieren oder mit einem festen Faktor (aber nicht einer anderen Reihe) multiplizieren (vervielfachen). Die resultierenden Reihen sind ebenfalls konvergent, und ihr Grenzwert ist die Summe bzw. Differenz der Grenzwerte der Ausgangsreihen bzw. das Vielfache des Grenzwertes der Ausgangsreihe. D. h.

$\sum _{j=0}^{\infty }(a_{j}\pm b_{j})=\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\pm \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}=s\pm t$

$\sum _{j=0}^{\infty }Aa_{j}=A\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=As$,

wenn $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=s$ und $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}=t$.

Produkte

Man kann absolut konvergente Reihen gliedweise miteinander multiplizieren. Die Produktreihe ist ebenfalls absolut konvergent und ihr Grenzwert ist das Produkt der Grenzwerte der Ausgangsreihen. D. h.

$\sum _{j,k=0}^{\infty }(a_{j}b_{k})=\left(\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)$

Da die Schreibweise (auf der linken Seite der Gleichung) der Produktreihe mit zwei Indizes in bestimmten Zusammenhängen „unhandlich“ ist, wird die Produktreihe auch in Form des Cauchyprodukts geschrieben. Der Name ergibt sich daraus, dass die Glieder der Produktreihe mit Hilfe des cauchyschen Diagonalverfahrens gebildet werden, dabei werden die Glieder der Ausgangsfolgen in einem quadratischen Schema paarweise angeordnet, und die (durchnummerierten) Diagonalen dieses Schemas bilden die Produktglieder. Für die Produktreihe braucht man dann nur noch einen einzelnen Index. Die Produktreihe hat dann die folgende Form:

$\sum _{j,k=0}^{\infty }(a_{j}b_{k})=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{0}\cdot b_{n}+a_{1}\cdot b_{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\cdot b_{1}+a_{n}\cdot b_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{m=0}^{n}a_{m}b_{n-m}\right)$

Rechnen innerhalb der Reihe

Klammerung (Assoziativität)

Man kann innerhalb einer konvergenten Reihe die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen. Man kann also beliebig viele Klammern in den „unendlichen Summenausdruck“ einfügen, man darf sie nur nicht innerhalb eines (aus mehreren Termen zusammengesetzten) Gliedes setzen. Der Wert der Reihe ändert sich durch die zusätzlich eingefügte Klammerung dann nicht.

Dies gilt für divergente Reihen im Allgemeinen nicht, was man leicht am folgenden Beispiel erkennt: Die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}=1-1+1-1+\dotsb$

divergiert, während die beklammerte Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }((-1)^{2k}+(-1)^{2k+1})=(1-1)+(1-1)+\dotsb =0+0+\dotsb =0$

gegen Null konvergiert und die anders beklammerte Reihe

$1+\sum _{k=1}^{\infty }((-1)^{2k-1}+(-1)^{2k})=1+(-1+1)+(-1+1)+\dotsb =1+0+0+\dotsb =1$

gegen noch eine andere Zahl konvergiert.

Andererseits kann man aber keine Klammern ohne Weiteres weglassen. Man kann das aber immer dann, wenn die resultierende Reihe wieder konvergent ist. In diesem Falle bleibt auch der Reihenwert unverändert: Sind die Glieder $A_{k}$ einer konvergenten Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }A_{k}$ selbst in Summenform $A_{k}=a_{\nu _{k}+1}+\cdots +a_{\nu _{k+1}}$ (mit $k=0,1,...$ und $\nu _{0}=-1$), so „darf“ man die sie umschließenden Klammern genau dann weglassen, wenn die dadurch entstehende neue Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ wieder konvergiert.

Umordnung (Kommutativität)

→ Hauptartikel: Umordnung von Reihen

Eine Umordnung einer Reihe wird durch eine Permutation ihrer Indexmenge dargestellt. Ist die Indexmenge zum Beispiel die Menge $\mathbb {N} _{0}$ der natürlichen Zahlen mit Null und $\sigma \colon \mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {N} _{0},\ k\mapsto \sigma (k)$, eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf sich, so heißt

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{\sigma (k)}$

eine Umordnung der Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.$

Man kann konvergente Reihen unter Beibehaltung ihres Wertes dann und nur dann beliebig umordnen, wenn sie unbedingt bzw. absolut konvergent sind. Es gilt für unbedingt (oder absolut) konvergente Reihen:

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ für alle bijektiven $\sigma \colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{0}$.

Bedingt konvergente Reihen dürfen zur Erhaltung des Grenzwerts nur endlich umgeordnet werden, d. h. ab einem gewissen Index muss für die Umordnung $\sigma (k)=k$ gelten. Der Riemannsche Umordnungssatz sagt aus, dass durch geeignete Umordnung einer fixierten, bedingt konvergenten Reihe reeller Zahlen jeder reelle Grenzwert erreicht werden kann.

Reihen von Funktionen

Allgemeines

Ein zentrales Problem der Analysis besteht darin, „komplizierte“ Funktionen zu studieren. Dabei bedeutet „kompliziert“ zum Beispiel, dass die Rechenvorschrift nicht aus einer endlichen Abfolge aus Anwendungen der vier Grundrechenarten besteht. Eine in diesem Sinne „einfache“ Vorschrift wäre: Nimm die Eingangszahl mal Zwei, dann das Ergebnis plus Eins, multipliziere dies mit sich selbst, teile dann alles durch die Drei. In Kurzform: $\textstyle x\mapsto {\frac {1}{3}}(2x+1)^{2}$. Jedoch lassen sich sehr viele Phänomene in der Natur nicht so einfach beschreiben. Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen in den unterschiedlichsten Bereichen innerhalb der Mathematik und auch ihrer Anwendungen zum Einsatz.

Haben die betrachteten Funktionen Zielmengen $B$, in denen nicht gerechnet werden kann, so ist keine Darstellung als unendliche Reihe möglich.

Eine naheliegende Möglichkeit, „komplizierte“ Funktionen $f(x)$ zu konstruieren und untersuchen ist, sie als Reihe von Funktionen $f_{n}(x)$ zu schreiben, wobei jeder einzelne Summand in der Praxis „einfache Eigenschaften“ besitzt.

$f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots .$

Anstatt also Folgen von Zahlen kann man auch Folgen von Funktionen betrachten und entsprechend Reihen definieren. Zudem ist zu beachten, dass im Darstellungsbereich alle $f_{n}$ notwendigerweise an allen Stellen $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ definiert sein müssen. Ferner muss im Zielbereich der Funktionen $f,f_{1},f_{2},...$ die Addition von Termen definiert sein, da sonst keine sinnvolle Reihe gebildet werden kann.

Zudem kommt zur Frage der Konvergenz noch die nach den Eigenschaften der Grenzfunktion $f$ hinzu. Meistens wird gefragt: „Falls die $f_{n}$ einzeln betrachtet alle stetig/differenzirbar/integrierbar sind, ist es auch die Funktion $f$?“ Antworten, bzw. hinreichende Entscheidungskriterien auf diese Fragen, liefern Sätze aus der Analysis. Häufig nützt es zum Beispiel, wenn die Funktionenreihe nicht nur in jedem Punkt gegen die Grenzfunktion konvergiert, sondern im Definitionsbereich sogar gleichmäßige Konvergenz vorliegt. In einem solchen Fall ist, falls die $f_{n}$ alle stetige Funktionen waren, auch die Grenzfunktion stetig. Ähnliche Voraussetzungen gelten für Beschränktheit (falls alle Partialsummen beschränkt sind), Differenzierbarkeit bzw. Integrierbarkeit der Grenzfunktion, falls alle Summanden die entsprechenden Eigenschaften haben.

Umgekehrt kann man fragen, durch welche Reihe sich eine Funktion darstellen lässt. So eine Darstellung nennt sich Reihenentwicklung. Es existieren, je nach Kontext verschiedene relevante Reihenentwicklungen für gewisse Klassen von Funktionen.

Potenzreihen, Taylorreihen und analytische Funktionen

→ Hauptartikel: Potenzreihe

→ Hauptartikel: Taylorreihe

Bei analytischen Funktionen wird eine Funktion um einen „Definitionspunkt“ herum über Polynome angenähert. Eine Möglichkeit dies zu realisieren und zu verstehen besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 möglicherweise noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den Entwicklungspunkt.

Es gibt gewisse Funktionen, die analytischen Funktionen, die aus ihren Eigenschaften in diesem Entwicklungspunkt lokal vollständig konstruiert werden können. Phänomene wie die Analytizität besagen also, dass betroffene Funktionen in sehr kleinen Bereichen deutlich verständlicheren Funktionen sehr stark ähneln. Diese verständlicheren Funktionen sind Vorschriften, die sich nur aus den vier Grundrechenarten zusammensetzen. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine analytische Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in z. B. 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten. Präziser wird die Annäherung über Polynome realisiert, also Ausdrücke wie $x+2$, $x^{3}-4x^{2}+3x-1$ und ganz allgemein

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.$

Eine analytische Funktion kann also um jeden Wert ihres Definitionsbereichs durch Anwendung der Grundrechenarten entwickelt werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei hinreichend „komplizierten“ Funktionen nur um eine Näherung handelt. Eine zentrale Eigenschaft der Analytizität ist aber, dass für solche komplizierten Funktionen beliebig lange Polynomketten, also addierte $x^{n}$-Terme, zur Annäherung gefunden werden können. Je länger diese Terme sind, desto besser. Lässt man diesen Prozess gegen Unendlich streben, ist die Annäherung in den umliegenden Punkten perfekt, es herrscht also Gleichheit. In diesem Sinne sind also analytische Funktionen, zumindest lokal, gerade „unendlich lange Polynome“. Diese werden auch als Potenzreihen bezeichnet. Obwohl dabei unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel den Entwicklungspunkt 0 und für die Koeffizienten die Dezimalstellen der Kreiszahl $\pi$, also

$f(x):=3+x+4x^{2}+x^{3}+5x^{4}+9x^{5}+2x^{6}+6x^{7}+\cdots ,$

so gilt

$f\left({\frac {1}{10}}\right)=3+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926\dotsc =\pi .$

Für Werte $|x|<{\tfrac {1}{10}}$ wird dann $f(x)$ „erst recht“ endlich sein. Diesem Gedanken folgend kann man etwa über das Majorantenkriterium (siehe unten) zeigen, dass Potenzreihen entweder überall oder innerhalb von Intervallen (für komplexe Zahlen Kreisscheiben) mit dem Entwicklungspunkt als Zentrum konvergieren.

Sinus und Kosinus bilden die Länge eines Kreisbogens auf die Länge zweier gradliniger Lote ab. Zu beachten ist, dass die Kreisbogenlänge b eigentlich der krummen „Strecke“ zwischen den Punkten A und B (sprich b = OAB) entspricht. Wegen der Wahl
Radius = r = 1 beträgt der volle Kreisumfang $2\pi$ Längeneinheiten, was auch im dimensionslosen Maß genau 360 Grad entspricht und damit eine Identifizierung des Kreisbogens mit dem einschließenden Winkel erlaubt.

Beispiel: Eine in der Schule behandelte Funktion, die sich im Allgemeinen nicht durch nur endlichfache Anwendung der vier Grundrechenarten berechnen lässt, ist der Sinus, also die Vorschrift $x\mapsto \sin(x)$. Hier wird die Vorschrift zunächst nicht über eine Zahlenrechnung, sondern geometrisch erklärt. Zur Länge eines Kreisbogens soll die zugehörige gerade Strecke gefunden werden, die den Endpunkt des Bogens mit der Grundachse verbindet, analog beim Kosinus (siehe Bild). Alle betrachteten Strecken haben Längen, im Verhältnis zur Einheit dimensionslos, also entspricht dies einer Abbildung von Zahlen auf Zahlen. Krumme Kreislinien („komplizierte Strecken“) werden auf ungleich lange gerade Linien („einfache Strecken“) abgebildet, was vermuten lässt, dass sich diese Umrechnung nicht in einfacher Weise mit den vier Grundrechenarten darstellen lässt. Es zeigt sich jedoch, dass der Sinus eine analytische Funktion ist, weshalb eine Annäherung durch einfache Terme möglich ist. Es gilt zum Beispiel für sehr kleine Werte von $x$

$\sin(x)\approx x-{\frac {x^{3}}{6}}.$

Dies entspricht einem „Studium“ der Sinusfunktion in oben erklärtem Sinne, da die komplizierte Sinusfunktion durch eine einfache Abbildung $\textstyle x\mapsto x-{\frac {x^{3}}{6}}$ angenähert wurde. Dabei war der Entwicklungspunkt 0, in der Tat ist wegen $\sin(0)=0$ die Annäherung hier perfekt, doch auch für umliegende Werte ist sie brauchbar. Es gilt zum Beispiel $\sin(0{,}2)=0{,}1986693308\dots$ und $\textstyle 0{,}2-{\frac {0{,}2^{3}}{6}}=0{,}1986666\dots$. Für eine exakte Berechnung erhält man für den Sinus

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{7}}{5040}}+{\frac {x^{9}}{362880}}-{\frac {x^{11}}{39916800}}+{\frac {x^{13}}{6227020800}}-{\frac {x^{15}}{1307674368000}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

wobei $!$ die Fakultät bezeichnet. Die Formel erweitert sich auch auf alle komplexen Zahlen und setzt den Sinus dort als holomorphe Funktion fort, wobei dort keine geometrische Interpretation über Dreiecke mehr zur Verfügung steht, aber im Gegenzug die enge Verbindung zur komplexen Exponentialfunktion deutlicher wird.

Über das Beispiel des Sinus erklärt sich auch das allgemeine Verfahren zum Aufstellen einer Taylorreihe zu einer analytischen Funktion $f(x)$. Wird als Entwicklungspunkt $x_{0}$ gewählt, so gilt die Formel

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n},\quad$ mit $f^{(n)}(x_{0})=n$-te Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$,

für alle $x$, die nahe genug an $x_{0}$ liegen. Genau genommen muss $|x-x_{0}|<R$ gelten, wobei die Zahl $R$ den Konvergenzradius der Taylorreihe bezeichnet. Ist der Entwicklungspunkt $x_{0}=0$, spricht man gelegentlich auch von einer Maclaurinreihe. Sind auch negative ganzzahlige Exponenten von $(x-x_{0})$ vorhanden, verallgemeinert sich das Konzept zu Laurentreihen.

Beispiel: Approximation der Zahl ${\sqrt {26}}$

Taylorentwicklungen lassen sich zum Beispiel an der Wurzelfunktion $x\mapsto {\sqrt {x}}$ demonstrieren, etwa um den Punkt $c=25$. Diese ist dort analytisch, man hat die Ableitungen $\textstyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ und $\textstyle ({\sqrt {x}})''=-{\frac {1}{4{\sqrt {x}}^{3}}}$. Also gilt mit der Taylor-Formel die Approximation ${\sqrt {x}}\approx {\sqrt {25}}+{\frac {1}{2{\sqrt {25}}}}(x-25)-{\frac {1}{8\cdot {\sqrt {25}}^{3}}}(x-25)^{2}=5+{\frac {1}{10}}(x-25)-{\frac {1}{1000}}(x-25)^{2}$ für Zahlen $x$, die nahe an $25$ liegen. Der Ausdruck $\textstyle 5+{\tfrac {1}{10}}(x-25)-{\tfrac {1}{1000}}(x-25)^{2}$ auf der rechten Seite kann, wie oben, durch Anwendung nur der vier Grundrechenarten schnell berechnet werden. Er stimmt nach Einsetzen von $x=25$ exakt mit dem Funktionswert $5$ überein, doch auch in der näheren Umgebung von $25$ ist die Annäherung noch sehr genau. Man hat etwa ${\sqrt {26}}\approx 5+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{1000}}=5{,}099$ und es gilt für den exakten Wert ${\sqrt {26}}=5{,}0990195\dots$.

Fourierreihen

→ Hauptartikel: Fourierreihe

Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen. Dies betrifft vornehmlich periodische Funktionen, also Funktionen, die sich intervallweise immer wieder in ihrem Abbildungsverhalten wiederholen. Da eine Normierung der Periode durch entsprechende Skalierung im Funktionsargument erreicht werden kann, genügt es, sich $1$-periodische Funktionen anzuschauen, also solche mit der Eigenschaft $f(x+1)\equiv f(x)$.

Fourierreihen spielen eine Rolle bei der Überlagerung von Wellen, zum Beispiel bei der Erzeugung von Klängen. Erklingen mehrere Töne gleichzeitig, etwa bei einem Musikstück, so entspricht dies physikalisch einer Überlagerung verschiedener Schallwellen. Um die Gesamtsituation zu erfassen, ist die Addition der entsprechenden (nach Phase und Amplitude skalierten) Sinuskurven erforderlich. Gewisse periodische Signale, zum Beispiel in der Elektrotechnik, haben jedoch ein derart komplexes Muster, dass eine unendliche Anzahl verschiedener Sinuswellen benötigt wird, um sie exakt darzustellen.

Animation der Approximation des Sägezahnsignals durch sich überlappende Sinuskurven.

Ist eine $1$-periodische Funktion, etwa ein Signal, gegeben, so ist eine Entwicklung in eine Fourierreihe (zumindest formal) dann möglich, wenn $f$ auf dem Interval $[0,1]$ integrierbar ist. In diesem Fall macht es Sinn, den $n$-ten Fourierkoeffizienten über die Formel

$a_{n}:=\int _{0}^{1}f(x)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}f(x)\cos(2\pi nx)\mathrm {d} x-i\int _{0}^{1}f(x)\sin(2\pi nx)\mathrm {d} x$

zu definieren. Es ist dabei die Eulersche Identität $e^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )$ zu beachten, die den entscheidenen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Da $f$ $1$-periodisch ist, sollten diese Integrale „alle Daten“ von $f$ beinhalten. Die Aussage ist nun, dass die Kollektion der Koeffizienten $a_{n}$ mit $n\in \mathbb {Z}$ unter Umständen ausreicht, das gesamte Signal $f$ vollstädig zu rekonstruieren. Dies wird über die Konvergenz der zunächst nur formalen Fourierreihe

$f(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi inx}$

realisiert. Ist zum Beispiel $f$ stetig differenzierbar, so wird die zugehörige Fourierreihe gleichmäßig gegen $f$ konvergieren. Allgemein bezeichnet man Kriterien, die Konvergenz(arten) von Fourierreihen festlegen, auch Dirichletbedingungen. Erfüllt $f$ gewisse Zusatzbedingungen, zum Beispiel Reellwertigkeit, so kann die Fourierreihe auch ausschließlich in Termen von Sinus und Kosinus ohne komplexe Zahlen statt der Exponentialfunktion ausgedrückt werden, wobei die Wellenüberlagerung ersichtlicher wird. Allerdings ist die Nutzung komplexer Zahlen in der Elektrotechnik, auch im Kontext von Wellen, durchaus üblich.

Dirichletreihen

→ Hauptartikel: Dirichletreihe

Dirichletreihen kommen vor allen Dingen in der Zahlentheorie zum Einsatz. Damit ist die Teildisziplin der Mathematik gemeint, die sich mit den Eigenschaften ganzer und auch rationaler Zahlen befasst. Viele Fragestellungen, etwa aus der multiplikativen Zahlentheorie. hängen dabei mit Primfaktorzerlegungen zusammen. An diesem Punkt kommen Dirichletreihen ins Spiel. Diese ahmen in manchen Fällen Primfaktorzerlegungen nach und übertragen dieses zahlentheoretische Element damit direkt in die Funktionentheorie.

Als Dirichletreihe bezeichnet man eine Entwicklung

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\qquad$ mit $s=\sigma +it\in \mathbb {C} .$

In gewisser Weise handelt es sich um eine „Potenzreihe unter Vertauschung der Rollen“: bei Dirichletreihen wird über die Basis der Potenz $n^{-s}$ summiert und nicht über den Exponenten, wie es bei $x^{n}$ in Potenzreihen noch der Fall war. Während Potenzreihen im Komplexen auf Kreisscheiben konvergieren, konvergieren Dirichletreihen im Komplexen auf rechten Halbebenen. Ist eine Dirichletreihe zudem in einem Punkt $s_{0}$ konvergent, so ist sie in jedem Punkt $s_{0}+1+\delta$ mit $\delta >0$ absolut konvergent. Der Bereich der absoluten Konvergenz ist wieder eine Halbebene, die von der Halbebene der Konvergenz umschlossen wird.

Die sich aus den Potenzgesetzen ergebende Rechenregel $m^{-s}n^{-s}=(mn)^{-s}$ macht Dirichletreihen für die Zahlentheorie interessant. Sind nämlich die Koeffizienten $a_{n}$ ebenfalls (stark) multiplikativ, gilt also $a_{m}a_{n}=a_{mn}$ so existiert im Bereich der absoluten Konvergenz das Euler-Produkt

$F(s)=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}}}={\frac {1}{1-a_{2}\cdot 2^{-s}}}\times {\frac {1}{1-a_{3}\cdot 3^{-s}}}\times {\frac {1}{1-a_{5}\cdot 5^{-s}}}\times \cdots .$

Kann die Funktion $F(s)$, ähnlich wie ein Polynom, auch über ihre Nullstellen in ein Produkt faktorisiert werden, können damit Verbindungen zwischen Primzahlen und Eigenschaften von Nullstellen spezieller Funktionen aufgebaut werden. Dies betrifft zum Beispiel die Riemannsche Zetafunktion

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\quad (\sigma >1),$

deren Nullstellen in Dualität zur Folge der Primzahlen steht. Die Lage der Nullstellen in der komplexen Ebene ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung. Eine ähnlich tiefe Vermutung, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, befasst sich ebenfalls mit Nullstellen von Dirichletreihen, die ein Euler-Produkt besitzen.

Konvergenzkriterien

→ Hauptartikel: Konvergenzkriterium

Allgemeine Kriterien

Nullfolgenkriterium

Wenn die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergiert, dann konvergiert die Folge $a_{n}$ der Summanden für $n\rightarrow \infty$ gegen 0. Kontraponiert: Ist $a_{n}$ keine Nullfolge, so divergiert die entsprechende Reihe.

Beispiel

Es kann die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-1+\cdots$ nicht konvergieren, da $a_{n}=(-1)^{n}$ nicht gegen 0 konvergiert.

Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe). Das Nullfolgenkriterium wird daher in erster Linie zum Nachweis der Divergenz einer Reihe verwendet.

Teleskopreihen

Die Teleskopreihe $\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$ konvergiert genau dann, wenn die Folge $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen eine Zahl $L$ konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann $b_{1}-L$.

Majorantenkriterium

Wenn alle Glieder $a_{n}$ der Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ nichtnegative reelle Zahlen sind, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergiert und für alle $n$ zudem $a_{n}\geq |b_{n}|$ gilt, dann konvergiert auch die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ absolut, und es ist

$\left|\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$.

Beispiel

Es konvergiert für alle $\alpha \in \mathbb {R}$ die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(\alpha n)}{n^{2}}}$. In der Tat, da $|\sin(\alpha n)|\leq 1$, folgt über $\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {\sin(\alpha n)}{n^{2}}}\right|\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty$ die Behauptung mit dem Majorantenkriterium.

Minorantenkriterium

Wenn alle Glieder $a_{n}$ der Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ nichtnegative reelle Zahlen sind, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ divergiert und für alle $n$ zudem $a_{n}\leq b_{n}$ mit nichtnegativen reellen Zahlen $b_{n}$ gilt, dann divergiert auch die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$.

Beispiel

Es gilt ${\frac {1}{\sqrt {n}}}\geq {\frac {1}{n}}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Da nun $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty$ folgt die Divergenz der Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}$ mit dem Minorantenkriterium.

Quotientenkriterium

Es wird die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ mit $a_{n}\not =0$ für alle $n$ betrachtet. Dann gilt:

• Falls $\textstyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$, so ist die Reihe absolut konvergent.
• Falls $\textstyle \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$, so ist die Reihe divergent.
• In den verbleibenden Fällen kann keine Aussage getroffen werden, d. h. sowohl bedingte oder absolute Konvergenz aber auch Divergenz sind möglich.

Wurzelkriterium

Zu einer Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ wird die Größe $\textstyle \alpha :=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ betrachtet. Dann gelten folgende Aussagen:

• Ist $\alpha <1$, so konvergiert die Reihe absolut.
• Ist $\alpha >1$, so ist die Reihe divergent.
• Ist $\alpha =1$, so kann keine Aussage getroffen werden, d. h. sowohl bedingte oder absolute Konvergenz aber auch Divergenz sind möglich.

Kriterium von du Bois-Reymond und Dedekind

Dieses Kriterium kann in zwei Unterkriterien unterteilt werden.

1. Es ist die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}$ konvergent, falls $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$ absolut und $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ wenigstens bedingt konvergiert.
2. Es ist die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}$ konvergent, falls außer der absoluten Konvergenz von $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$ lediglich die Beschränktheit der Partialsummen von $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ und $b_{n}\to 0$ vorausgesetzt wird.

Gaußsches und Weierstraßsches Kriterium

Kann man den Quotienten ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ in der Form $1-{\tfrac {\alpha }{n}}-{\tfrac {\vartheta _{n}}{n^{\lambda }}}$ mit einer beschränkten Folge $\vartheta _{n}$ und $\lambda >1$ schreiben, so ist die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ im Falle $\alpha >1$ konvergent, und im Falle $\alpha \leq 1$ divergent.

Dieses Kriterium von Gauß kann für komplexe Folgen ausgeweitet werden, wo es als Kriterium von Weierstraß benannt ist. Erfüllen die komplexen Glieder $a_{n}$

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=1-{\tfrac {\alpha }{n}}-{\tfrac {A_{n}}{n^{\lambda }}}$

mit $\lambda >1$ und beschränkten $A_{n}$, so konvergiert die zugehörige Reihe genau dann absolut, wenn $\mathrm {Re} (\alpha )>1$. Ist $0<\mathrm {Re} (\alpha )\leq 1$, so sind wenigstens die Reihen $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-a_{n+1}|$ und $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ konvergent.

Kriterien unter Monotoniebedingungen

Integralkriterium

Ist $f\colon [1,\infty )\to [0,\infty )$ eine monoton fallende Funktion mit

$f(n)=a_{n}$ für alle $n$,

dann konvergiert $S$ genau dann, wenn das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$

existiert.

Beispiel

Die Dirichletreihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}$ konvergiert für $r>1$ und divergiert für $r\leq 1$, was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von $r$ aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemannsche Zetafunktion.

Leibniz-Kriterium

Eine Reihe der Form

$S=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$

mit nichtnegativen $a_{n}$ wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge $a_{n}$ monoton gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.

Abel-Kriterium

Es ist die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}$ konvergent, falls die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergiert, und die Folge $b_{n}$ monoton und beschränkt ist.

Dirichlet-Kriterium

Es ist die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}$ konvergent, falls

$\sup _{N\in \mathbb {N} }\left|\sum _{n=0}^{N}a_{n}\right|<\infty ,$

mit anderen Worten, die Partialsummen sind beschränkt, und $b_{n}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Cauchysches Verdichtungskriterium

Ist $a_{n}$ eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ genau dann, wenn die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ konvergiert.

Multiplikative Funktionen

Es ist $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$ eine multiplikative Funktion, falls $f(mn)=f(m)f(n)$ für alle teilerfremden $m$ und $n$ gilt.

Es konnte Peter D. T. A. Elliott folgendes zeigen: Ist $f$ multiplikativ, so dass

$0\not =A=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}f(m)$

existiert, und ferner

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}|f(m)|^{2}<\infty .$

Dann gilt bereits, dass die Reihen

$\sum _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {f(p)-1}{p}},\qquad \sum _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {|f(p)-1|^{2}}{p}},\qquad \sum _{p\ {\text{Primzahl}}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {|f(p^{k})|}{p^{k}}}$

sämtlich konvergieren.

Funktionentheoretische Mittel

Sätze von Tauber und Littlewood

Der Satz von Tauber, bewiesen von Alfred Tauber im Jahr 1897, nutzt das Randverhalten einer Potenzreihe, um ein hinreichendes Kriterium für dortige Konvergenz zu geben. Ist

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

für alle $|z|<1$ konvergent, existiert $f(1):=\lim _{r\to 1^{-}}f(r)$ und gilt $na_{n}\to 0$ für $n\to \infty$, so konvergiert $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ gegen $f(1)$. John Edensor Littlewood konnte dieses Resultat verbessern, indem er zeigte, dass bereits die abgeschwächte Bedingung $|na_{n}|\leq C$ für alle $n$ mit einer Konstante $C$ für die Aussage des Satzes hinreichend ist. Es konnte auch gezeigt werden, dass diese Bedingung im allgemeinen Fall nicht weiter verbessert werden kann. Wird allerdings gefordert, dass die $a_{n}$ fast alle nichtnegativ sind, kann die Bedingung der Beschränktheit von $na_{n}$ gänzlich weggelassen werden.

Kriterien von Fatou und Korevaar

Wieder habe $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ einen Konvergenzradius von mindestens 1. Gibt es sogar eine Konstante $\alpha >0$, so dass $|f(r)-f(1)|=O((1-r)^{\alpha })$ mit $r\to 1^{-}$, so folgt bereits

$\left|\sum _{k=0}^{n}a_{k}-f(1)\right|=O\left({\frac {1}{\log(n)}}\right).$

Ist $f$ um $z=1$ holomorph fortsetzbar, und gibt es eine nicht-fallende Funktion $\psi \colon \mathbb {R} \to [1,\infty )$, sodass $\psi (x)=1$ für $x\leq 0$ und $\psi (2x)\leq C\psi (x)$ für $x\geq 0$ mit einer Konstanten $C>0$. Gilt zudem $a_{n}\geq -{\tfrac {1}{\psi (n)}}$ für alle $n\geq 0$, dann konvergiert $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ gegen $f(1)$, und zudem gilt

$\sum _{k\leq x}a_{k}=f(1)+O\left({\frac {1}{\psi (x)}}\right).$

Abel-Summierbarkeit

Man nennt eine formale Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ Abel-summierbar gegen $A$, falls

$\lim _{r\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}=A,$

wobei die Reihe zur Linken für alle $0\leq r<1$ konvergiere. Es ist eine Abel-summierbare Reihe genau dann konvergent, wenn

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+2a_{2}+\cdots +na_{n}}{n}}=0.$

Satz von Fatou

Der Satz Fatou besagt, dass, wenn die Potenzreihe

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

für alle $|z|<1$ konvergiert, und sich die Funktion $f$ in einer Umgebung des Randpunkts $|z_{0}|=1$ holomorph fortsetzen lässt, aus $a_{n}\to 0$ bereits folgt, dass $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergiert, und den Wert $f(z_{0})$ annimmt.

Der Satz von Fatou kann, unter Umgehung der Bedingung der Holomorphie in $z_{0}$, ausgeweitet werden. Dafür wird das Konzept des Hardy-Raums $H^{1}(D)$ eines Gebietes $D$ benötigt. Erfüllt $f$ im Randpunkt $z_{0}=e^{it_{0}}$ die lokale $H^{1}$-Bedingung, so existiert eine Zahl $\lambda >0$, sodass $f(re^{it})$ für $r\to 1^{-}$ in $L^{1}(t_{0}-\lambda ,t_{0}+\lambda )$ gegen eine (integrierbare) Funktion $t\mapsto f(e^{it})$ konvergiert (siehe auch Lp-Raum), also

$\lim _{r\to 1^{-}}\int _{t_{0}-\lambda }^{t_{0}+\lambda }|f(re^{it})-f(e^{it})|\mathrm {d} t=0.$

Ist die Menge ${\mathcal {E}}$ der Randpunkte $\zeta$, mit $|\zeta |=1$, an der $f$ singulär ist in dem Sinne, dass sie dort nicht die lokale $H^{1}$-Bedingung erfüllt, eine Nullmenge, und gilt

$\sup _{\zeta \in {\mathcal {E}}}\sup _{n\in \mathbb {N} _{0}}\left|\sum _{k=0}^{n}a_{k}\zeta ^{k}\right|=M<\infty ,$

dann konvergiert $f$ in jedem Punkt $z_{1}=e^{it_{1}}$ gegen $f(z_{1})$, an dem der Differenzenquotient

$q_{z_{1}}(z)={\frac {f(z)-f(z_{1})}{z-z_{1}}},\qquad |z|<1,$

die lokale $H^{1}$-Bedingung in $z_{1}$ erfüllt.

Satz von Ingham

Ein im Jahr 1935 gegebener Satz von Albert Ingham war Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen von Donald Newman, der diesen mit einfachen funktionentheoretischen Mitteln beweisen konnte. Sei eine Dirichlet-Reihe

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

für alle $s$ mit $\mathrm {Re} (s)>1$ konvergent (d. h. sie stellt in dieser offenen Halbebene eine holomorphe Funktion dar). Lässt sich $f$ nun holomorph auf eine offene Menge fortsetzen, die $\{s\in \mathbb {C} \colon \mathrm {Re} (s)\geq 1\}$ vollständig enthält, und sind die $a_{n}$ beschränkt, so gilt bereits für alle $t\in \mathbb {R}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{1+it}}}=f(1+it).$

Für unbeschränkte $a_{n}$ ist die obere Aussage bekanntlich falsch.

Methoden zur Grenzwertbestimmung

Es existiert kein allgemein brauchbares Verfahren, den Grenzwert einer konvergenten Reihe explizit auszurechnen. In einigen Fällen lassen sich Grenzwerte auch nicht auf „elementare“ mathematische Konstanten zurückführen, etwa im Fall der Apéry-Konstante

$\zeta (3):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$

Allerdings gibt es einige Techniken, die in speziellen Situationen die geschlossene Berechnung eines konvergenten Reihenausdrucks ermöglichen.

Abelscher Grenzwertsatz

→ Hauptartikel: Abelscher Grenzwertsatz

Es sei $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe. Eine Möglichkeit, ihren Grenzwert zu bestimmen, geht über die von den $a_{n}$ erzeugte Funktion. Niels Henrik Abel konnte beweisen, dass sich die Funktion

$f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

stetig nach $x=1$ fortsetzen lässt. Ferner gilt

$f(1)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

Mit diesem Ansatz können manche klassischen Reihengrenzwerte berechnet werden. Beispielsweise gilt für alle $x$ mit $|x|<1$ gilt die Reihendarstellung

$\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}.$

Mit dem Leibniz-Kriterium und der Abel-Summierbarkeit folgt damit die Leibniz-Reihe:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}.$

Ähnlich verhält es sich mit der Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus: $\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}.$ Damit folgt, dass die alternierende harmonische Reihe den Grenzwert $\log(2)$ besitzt:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\log(2).$

Fourier-Analysis

Die Grenzwertbestimmung über Fourier-Reihen ähnelt sich mit dem Grenzwertsatz von Abel insofern, als das die Reihe auch hier als Wert einer zu bestimmenden Funktion interpretiert wird. Weiß man, dass $\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}$ absolut konvergiert, so kann man ihren Wert als $f(0)$ mit

$f(x):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ixn}$

auffassen. Dann ist $f$ eine 1-periodische Funktion, und die rechte Seite ihre Darstellung als Fourier-Reihe. Über die Umrechungsformel

$a_{n}=\int _{0}^{1}f(x)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x$

können die Koeffizienten der Reihe aus $f$ zurückgewonnen werden. Es muss also ein „passendes“ $f$ zu den $a_{n}$ gefunden werden. Zum Beispiel findet man mit partieller Integration schnell

${\frac {(\pi -x)^{2}}{4}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(xn)}{n^{2}}},$

womit durch Einsetzen von $x=0$ die Antwort auf das Basler Problem folgt. Ist $f$ lediglich als auf dem Intervall $[0,1]$ integrierbar vorausgesetzt, und hat die assoziierte Fourier-Reihe $\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ixn}$, so gilt außerdem die Parsevalsche Identität

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{2}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\mathrm {d} x.$

Gelten für $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ geeignete Wachstumsbedingungen, ist es zum Beispiel eine Schwartz-Funktion, so gilt ferner die Poissonsche Summationsformel:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n).$

Diese ermöglicht es, eine Reihe über Funktionswerte an ganzen Stellen in jene bezüglich der Fourier-Transformierten

${\hat {f}}(x):=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)e^{-2\pi ixy}\mathrm {d} y$

umzuwandeln, und umgekehrt.

Residuensatz

In manchen Fällen, besonders bei unendlichen Reihen über rationale Funktionen, kann der Residuensatz aus der Funktionentheorie verwendet werden. Ist $f\colon \mathbb {C} \to {\overline {\mathbb {C} }}$ eine meromorphe Funktion mit endlichen vielen, nicht ganzzahligen Polstellen $z_{1},...,z_{n}$, so gilt, falls zusätzlich $f(z)=O(|z|^{-\nu })$ mit $|z|\to \infty$ und $\nu >1$, die Formel

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k)=-\sum _{j=1}^{n}\mathrm {Res} _{z=z_{j}}\left(\pi \cot(\pi z)f(z)\right).$

Ähnlich gilt

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}f(k)=-\sum _{j=1}^{n}\mathrm {Res} _{z=z_{j}}\left(\pi \csc(\pi z)f(z)\right).$

Dabei bezeichnet $\cot$ den Kotangens und $\csc$ den Kosekans. Diese Aussage beinhaltet folgenden Spezialfall: Sind $P(z)$ und $Q(z)$ Polynome, so dass $\deg(Q)\geq \deg(P)+2$ und $Q(k)\not =0$ für alle $k\in \mathbb {Z}$, so folgt

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {P(k)}{Q(k)}}=-\sum _{Q(w)=0}\mathrm {Res} _{z=w}\left({\frac {\pi \cot(\pi w)P(z)}{Q(z)}}\right).$

Mit diesem Verfahren lässt sich zum Beispiel

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )=\pi {\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}$

und

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \ \mathrm {csch} (\pi )=\pi {\frac {2e^{\pi }}{e^{2\pi }-1}}$

zeigen.

Ungleichungen

Ungleichungen für Reihen verwenden oft spezielle analytische Methoden, etwa aus der Fourier-Analysis.

Standardabschätzung

Es gilt stets

$\left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\right|\leq \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|.$

Dies ist die Dreiecksungleichung für Reihen.

Besselsche Ungleichung

Bezeichnet $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ eine 1-periodische Funktion und ${\hat {f}}$ ihre Fourier-Transformierte, so gilt die Besselsche Ungleichung

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\leq \int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\mathrm {d} x.$

Hausdorff-Young-Ungleichung

Sind $1\leq p\leq 2$ und $q$ so gewählt, dass ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$, so gilt die Hausdorff-Young-Ungleichung

$\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \left(\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}$

und ihre „Duale“

$\left(\int _{0}^{1}|f(x)|^{q}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}\leq \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

wenn $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ 1-periodisch, auf $[0,1]$ integrierbar mit assoziierter Fourier-Reihe $\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ixn}$.

Darstellung mathematischer Konstanten

Neben der Konvergenz und dem numerischen Wert einer Reihe ist auch der symbolische Wert einer Reihe von Bedeutung. Beispielsweise lassen sich so mathematische Konstanten darstellen und numerisch berechnen. Für wichtige Reihendarstellungen existieren zudem Tabellierungen in Reihentafeln.

Kreiszahl

Von historischer Bedeutung ist etwa das Basler Problem, welches nach dem Grenzwert der Reihe $1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+\cdots$ aller reziproken Quadratzahlen fragte. Leonhard Euler publizierte 1735 in seiner De Summis Serierum Reciprocarum die Lösung:

${\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Dabei ist $\pi =3{,}14\ldots$ die Kreiszahl. Euler konnte allgemein für $k\in \mathbb {N}$ sogar

$(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}$

mit den Bernoulli-Zahlen $B_{k}$ zeigen. Der Fall ungerader Exponenten ist deutlich schwieriger, und es existieren hier keine geschlossenen Analoga. Allerdings konnte Matyáš Lerch im Jahr 1900 folgende Reihenidentität aufzeigen:

${\frac {7\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{3}}}+{\frac {2}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}\right).$

Während all diese Reihen vergleichsweise langsam konvergieren, ist die 1914 von Srinivasa Ramanujan veröffentlichte, auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen basierende Gleichung zur Berechnung der Kreiszahl gut geeignet:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(4n)!(1103+26390\,n)}{(n!)^{4}\,396^{4n}}}.$

Die Brüder David und Gregory Chudnovsky berechneten mit ihrer Hilfe 2 Milliarden Nachkommastellen von $\pi$ in den frühen neunziger Jahren. Der davon inspirierte Chudnovsky-Algorithmus basiert auf der folgenden verwandten Reihendarstellung:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(545140134n+13591409)}{(3n)!\,(n!)^{3}\,640320^{3n}}}.\!$

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel:

$\pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{n}}}\left({\dfrac {4}{8n+1}}-{\dfrac {2}{8n+4}}-{\dfrac {1}{8n+5}}-{\dfrac {1}{8n+6}}\right).$

Diese Reihe ermöglicht es, die $n$-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von $\pi$ zu berechnen, ohne dass zuvor die $n-1$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl $e=2{,}718\ldots$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Ihre bekannteste Reihendarstellung ergibt sich aus der Taylor-Entwicklung der natürlichen Exponentialfunktion:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots .$

Aufgrund ihrer schnellen Konvergenz ist diese Reihe nicht nur zur Berechnung von Dezimalstellen der Eulerschen Zahl geeignet. Es kann mit ihrer Hilfe auch ein elementarer Beweis erbracht werden, dass $e$ eine irrationale Zahl ist.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Reihe – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz einer Reihe – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-59111-7, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 2).
• Izrail Solomonovic Gradshteyn, Iosif Mojseevic Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products. Herausgegeben von Alan Jeffrey und Daniel Zwillinger. 7. Ausgabe. Elsevier Academic Press, Amsterdam u. a. 2007, ISBN 978-0-12-373637-6.