Teilungsproblem

Das Teilungsproblem ist ein altes Problem welches auf Luca Pacioli im Jahr 1494 zurückgeht. Blaise Pascal und Pierre de Fermat schrieben sich zu diesem Problem Briefe.

Formulierung

Zwei Spieler A und B legen jeweils einen gleichgroßen Geldeinsatz E in einen Topf. Um den im Topf liegenden Betrag G=2E spielen sie ein Glückspiel welches sich aus mehreren Runden zusammensetzt. In jeder Runde wird eine faire Münze geworfen. Für das Spiel haben sie folgende Regeln vereinbart:

1.Regel

Es muss solange gespielt werden bis einer zuerst n mal gewonnen hat.

2.Regel (The winner takes it all)

Derjenige der zuerst n mal gewonnen hat bekommt alles was im Topf ist.

Der andere bekommt somit, unabhängig davon wie knapp der Vorspung war, nichts.

Auf Grund einer höheren Gewalt muss das Spiel jedoch vor der Entscheidung unerwartet beim Spielstand a:b abgebrochen werden. Die 1.Regel ist damit verletzt. Das Spiel kann nicht fortgesetzt oder wiederholt werden und die Geldaufteilung muss gleich erfolgen.

Man versetzte sich nun in die Lage eines Richters der den Gewinnbetrag G im Topf an die beiden Spieler "gerecht" verteilen soll.

Gerechtigkeitsbegriff

Man beachte dass das Wort "gerecht" hier mehr eine juristische als mathematische Bedeutung besitzt.

1.Vorschlag

Der zurückliegende Spiele argumentieren dass das Spiel regelwidrig beendet wurde.

Er möchte seinen Einsatz E wieder rückerstattet bekommt, sprich die Hälfte von G.

Er hätte ja schließlich auch aufholen und gewinnen können.

2.Vorschlag

Der führende Spieler beansprucht für sich den vollen Geldbetrag.

Er behaart auf die "Alles oder Nichts"-Regel

Gerade wenn er deutlich in Führung liegt ist ja zu erwarten dass er auch gewinnt.

Die beide kompromisslosen Vorschläge sind mathematisch weder "falsch" noch "richtig".

Es hängt vielmehr vom juristischen Gerechtigkeitsempfinden des Betrachters ab ob er einen der Vorschläge als "falsch" noch "richtig" wertet. Wie schwer wiegt die 2.Regel noch wenn doch die erste gebrochen wurde?

Kanonisch gerecht erscheinen die folgendenen beiden Ansichten:

• Wird das Spiel bei Punktegleichstand abgebrochen so bekommt jeder die Hälfte, also seinen Einsatz.
• Gibt es einen Führenden so darf dieser keinesfalls weniger bekommen als der Zurückliegende.

Klassische Kompromisslösungen

Pacioli

A bekommt ${\frac {a}{a+b}}\,G$ und B bekommt ${\frac {b}{a+b}}\,G$.

Das Teilungsverhältnis ist $a:b\,$ beim Spielstand a:b .

Tartaglia

A bekommt $\left({\frac {a-b}{n}}+1\right)E$ und B bekommt $\left({\frac {b-a}{n}}+1\right)E$.

Das Teilungsverhältnis ist $(a-b+n):(b-a+n)\,$ .

Cardano

A bekommt ${\frac {\sum \limits _{k=1}^{n-b}k}{\sum \limits _{k=1}^{n-a}k+\sum \limits _{k=1}^{n-b}k}}\,G$ und B bekommt ${\frac {\sum \limits _{k=1}^{n-a}k}{\sum \limits _{k=1}^{n-a}k+\sum \limits _{k=1}^{n-b}k}}\,G$

Das Teilungsverhältnis ist ${\sum \limits _{k=1}^{n-b}k}:{\sum \limits _{k=1}^{n-a}k}$ .

Fermat und Pascal

A bekommt ${\frac {2^{a+b}}{2^{2n-1}}}\sum _{k=0}^{n-b-1}{2n-1-(a+b) \choose k}\,G$ und B bekommt ${\frac {2^{a+b}}{2^{2n-1}}}\sum _{k=0}^{n-a-1}{2n-1-(a+b) \choose k}\,G$

Das Teilungsverhältnis ist $\sum _{k=0}^{n-b-1}{2n-1-(a+b) \choose k}:\sum _{k=0}^{n-a-1}{2n-1-(a+b) \choose k}$ .

Bemerkungen

In der Kette

1.Vorschlag - Tartaglia - Cardano - Fermat/Pascal - 2.Vorschlag

steigt monoton von links nach rechts die Bevorzugung des Führenden.

Die Lösung von Fermat und Pascal scheint letztendlich die "gerechteste" bzw. "richtigste" zu sein weil sie den Gewinnbetrag gemäß den einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten bei einer fiktiven Spielfortsetzung aufteilt.