Kugeldreieck

Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreisbögen zusammenstoßen. Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht etwa die Länge des Kreisbogens, sondern den entsprechenden Mittelpunktswinkel. Eine Seite, die also beispielsweise einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat die Länge 90°. Die Innenwinkel (an den drei Ecken) sind definiert durch die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Meist schränkt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke (benannt nach Leonhard Euler), d.h. auf Kugeldreiecke, deren Seiten und Winkel kleiner als 180° sind. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche mehrere Kugeldreiecke.

Die sphärische Trigonometrie ermöglicht es, aus drei bekannten Größen (Seiten oder Winkeln) des Kugeldreiecks die übrigen zu berechnen.

Eigenschaften

• Seitensumme: $0^{\circ }<a+b+c<360^{\circ }$

• Winkelsumme: $180^{\circ }<\alpha +\beta +\gamma <540^{\circ }$

Bemerkenswert daran ist, dass die Winkelsumme hier keinen festen Wert hat wie bei ebenen Dreiecken.

• Flächeninhalt: $F={\frac {\epsilon }{180^{\circ }}}\cdot r^{2}\pi$

Hier steht r für den Kugelradius; $\pi$ ist die Kreiszahl; die Größe $\epsilon$, die als sphärischer Exzess bezeichnet wird (dies bedeutet hier etwa: Überschreitung der "normalen" Winkelsumme), ist definiert durch $\epsilon :=\alpha +\beta +\gamma -180^{\circ }$.

Siehe auch: Kugelzweieck