Benutzer:Langealtos/Lichtkegel

Lichtkegel im ΛCDM-Modell der Kosmologie

Einführende Bemerkungen

Dargestellt werden im Weiteren Lichtkegel im räumlich flachen Standardmodell der Kosmologie (ΛCDM-Modell). Anders als im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie muss bei der Lichtausbreitung im ΛCDM-Modell noch die Expansion des Universums mitberücksichtigt werden. Auch um mit der Terminologie von Veröffentlichungen zu Lichtkegeln im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie verträglich zu bleiben, wollen wir in diesem Artikel genau einen Beobachter in der Milchstraße (z.B. auf der Erde) annehmen und den Begriff "Beobachter" sonst nicht anders verwenden. Der Beobachter empfängt Photonen (oder andere mit Lichtgeschwindigkeit übermittelte Informationen) von ruhenden oder (synonym) mitbewegten Objekten (i.a. Galaxien), die mit dem Beobachter im Hubble-Flow treiben und die solche Photonen emittieren. Unter "Hubble-Flow" wird der lediglich durch expansionsbedingte Abstandsänderungen charakterisierte, als isotrop und homogen angenommene Raum verstanden. Basis für die Entwicklung des Universums ist die Friedmann-Gleichung, zeitlicher Verlauf und Abstände sind durch die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik (FLRW-Metrik) induziert.

Anders als die als ruhend angenommenen Objekte sind Galaxien jedoch in gravitativ bedingte Bewegungen eingebunden. Diese Pekuliarbewegungen werden durch die hier zugrundeliegende Theorie nicht abgebildet. Je länger das Licht benötigt hat, den heutigen Ort der Milchstraße zu erreichen, desto geringer sind im Durchschnitt die durch Pekuliarbewegungen bedingten relativen Fehler. Einige Autoren verwenden hier den Begriff der „Hubble-Flow-Galaxie“.

Koordinatensysteme für die Raumzeit des Universums bestehen aus 3 Raumachsen und einer Zeitachse. Die anwachsenden Abstände zwischen im Hubble-Flow treibenden, als ruhend angenommenen Objekten können durch einen Skalenfaktor $a(t)$ beschrieben werden, der allein von der Zeit $t$ seit dem Urknall abhängt. Im Sinne der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Zeit als Eigenzeit der im Hubble-Flow treibenden ruhenden Objekte (mit synchronisierten Uhren) verstanden. Anders als für die Zeitachse gibt es für die Raumachsen kein natürliches Maß. Entfernungen zwischen Objekten zu konstanter gemeinsamer Zeit existieren, sind jedoch nicht messbar. Vielmehr müssen diese Distanzen über die kosmologische Theorie erschlossen werden. Mitbewegte Koordinaten treiben mit dem Hubble-Flow. Die mitbewegte Distanz (englisch: comoving distance) zwischen Objekten, die ebenfalls im Hubble-Flow treiben, ändert sich trotz der Expansion des Universums nie. Im Gegensatz dazu spiegeln physikalische Koordinaten die mit der Expansion des Universums anwachsenden Entfernungen als Eigendistanz (englisch: proper distance) zwischen ruhenden Objekten wider. Aufgrund von Isotropie und Homogenität des Universums kann der räumliche Ursprung des Koordinatensystems im Prinzip an einem beliebigen Ort des Universums angesetzt werden. Diesen Umstand nutzen wir dazu, unseren Beobachter in der Milchstraße in den Ursprung des räumlichen Koordinatensystems zu positionieren.

Hat man eine bestimmte Galaxie (oder ein anderes als ruhend angenommenes Objekt) im Auge, so spricht nichts dagegen, den Pfad zu dieser Galaxie als Teil der positiven radialen Koordinatenachse (zweite und dritte Koordinatenposition NULL, in der Mathematik oft als x-Achse bezeichnet) anzunehmen. Für Fragen der Kosmologie, bei denen keine Raumwinkel beachtet werden müssen, kann man Berechnungen auf diese Achse beschränken und mit nur reellen Werten rechnen. Die Galaxie entfernt sich aufgrund der Expansion des Universums auf dieser Achse vom im Ursprung des räumlichen Koordinatensystems gelegenen Beobachter. Ein von dieser Galaxie emittiertes, auf den Beobachter gerichtetes Photon strebt auf dieser Achse auf den Beobachter zu und geht, sofern es diesen erreicht, anschließend auf den negativen Bereich der Achse über. Viele in der Kosmologie verwendete Formeln sind im Normalfall nur für die radiale Achse formuliert.

Kosmologische Parameter

Alle im Weiteren ermittelten kosmologischen Größen hängen von verschiedenen Basisparametern ab, wobei wir auf den aktuellsten Parametersatz Planck18 zurückgreifen wollen. Der Hubble-Parameter heute ist dort mit H₀ = 67,4 km s⁻¹ Mpc⁻¹ und der Materie-Anteil heute an der Materie/Energie-Dichte des Universums mit Ω_M = 0,315 festgelegt worden. Das Programm WELTTABELLEN, mit dem alle Kalkulationen für diesen Artikel durchgeführt und die weiteren Zeichnungen (Ausnahme: Expansion des Universums in physikalischen Koordinaten) vorbereitet wurden, berechnet via Stefan-Boltzmann-Konstante den heutigen Strahlungsanteil an der Materie/Energie-Dichte mit Ω_R=0.00009209605429, wodurch ein heutiger Anteil an dunkler Energie von Ω_Λ=1-Ω_R-Ω_M=0.6849079039 resultiert. Bezeichnen wir den heutigen Zeitpunkt mit $t_{0}$, so nimmt unter der Voraussetzung dieses Parametersatzes die heutige Epoche den Wert von $t_{0}=13.790687$ Mrd. Jahren nach dem Urknall an.

Der Skalenfaktor $a$ wird für den Zeitpunkt $t_{0}$ auf $a=1$ festgelegt. Die Festlegung $a(t_{0})=1$ wird durch eine der zulässigen Transformationen ermöglicht, die die FLRW-Metrik invariant lässt. Bei allen diesen Transformationen bleibt die physikalische Entfernung als Produkt aus Skalenfaktor und mitbewegter Entfernung stets gleich.

Der Beobachter in der Milchstraße wird heute, in der Vergangenheit und in der Zukunft im räumlichen Ursprung des Beobachtbaren Universums angenommen. Galaxien, die der Beobachter zu einem Zeitpunkt $T$ SEHEN kann (d.h. von denen er mit Lichtgeschwindigkeit auf geodätischem Pfad übermittelte Informationen empfangen kann), sind auf dem Rückwärts-Lichtkegel (genauer: auf dem Mantel des Rückwärts-Lichtkegels) gelegen, auf dessen Scheitel sich der Beobachter beim Zeitpunkt $T$ gerade befindet. Der Lichtkegel $LK(T)$ mit Scheitel beim Zeitpunkt $T$ zeichnet also mit anderen Worten alle zum Zeitpunkt $T$ SICHTBAREN Ereignisse nach.

Allgemeine Lichtausbreitungsformel im ΛCDM-Modell

Empfängt der Beobachter zu einem Zeitpunkt $t_{r}$ Licht von einer Galaxie, das zu einem Zeitpunkt $t_{e}$ (also $t_{e}<t_{r}$) emittiert wurde, so beträgt der mitbewegte Abstand $D_{C}(t_{e},t_{r})$ des Beobachters im räumlichen Koordinatenursprung zu dieser Galaxie

$D_{C}(t_{e},t_{r})=c\int _{t_{e}}^{t_{r}}{\frac {d\tau }{a(\tau )}}=c\int _{a({t_{e}})}^{a({t_{r}})}{\frac {d\alpha }{\alpha ^{2}~H(\alpha )}}$

mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ und dem vom Skalenfaktor abhängigen Hubble-Parameter

$H(a)=H_{0}\ E(a)$

und der Dichtefunktion

$E(a)=(\Omega _{R}\ a^{-4}+\Omega _{M}\ a^{-3}+\Omega _{\Lambda })^{\frac {1}{2}}$

Der Wert des mitbewegten Abstands $D_{C}(te,tr)$ ist eine von der Festlegung $a(t_{0})=1$ betroffene Größe.

Wir betrachten nun einen Lichtkegel mit dem Scheitel $T$. Sendet eine Galaxie zu einem Zeitpunkt $t<T$ einen auf den Beobachter gerichteten Lichtstrahl, den der Beobachter zum Zeitpunkt $T$ empfängt (die Galaxie liegt also auf dem Lichtkegel $LK(T)$), so umschreibt unter Verwendung der Vereinbarung

$d(a_{2},a_{2},a_{3})=c\ a_{3}\int _{a_{1}}^{a_{2}}{\frac {d\alpha }{\alpha ^{2}~H(\alpha )}}$

der Ausdruck $d_{LK}(T,t)=d(a(t),a(T),a(t))$ den physikalischen Abstand der Galaxie vom Beobachter zum Zeitpunkt $t$. Der zugehörige mitbewegte Abstand $D_{LK}(T,t)=d(a(t),a(T),1)$ zeigt (aufgrund der Voraussetzung $a(t_{0})=1$) den physikalischen Abstand der Galaxie vom Beobachter zum Zeitpunkt $t_{0}$ (HEUTE) an.

Die Formeln für den Lichtkegel beschreiben für $t<T$ den Rückwärts-Lichtkegel (Vergangenheits-Lichtkegel) auf der positiven radialen Koordinatenachse. Die Mehrheit der Veröffentlichungen befasst sich ausschließlich mit dem Lichtkegel mit dem Scheitel bei $T=t_{0}$ (HEUTE).

Strebt $t$ gegen $T$, so nähern sich Photonen auf diesem Lichtkegel dem Beobachter. Nachdem sie diesen erreicht haben, setzen die Photonen anschließend ihren Weg auf der negativen Koordinatenachse fort und formen dort den Vorwärts-Lichtkegel (Zukunfts-Lichtkegel). Für jedes $t$ ist der Lichtkegel in physikalischen Koordinaten eine vom $T$ und $t$ abhängige Kugeloberfläche um den Beobachter, dessen Radius auf der radialen Koordinatenachse durch die Formel $d_{LK}(T,t)$ umschrieben wird. Der Ausdruck $d_{LK}(T,t)$ beschreibt auch für $t>T$ den Abstand der Photonen des Lichtkegels vom Beobachter.

Rückwärts-Lichtkegel und Hubblesphäre

Rückwärts-Lichtkegel und Hubblesphäre in physikalischen Koordinaten

Expansion des Universums in physikalischen Koordinaten

Die Hubblesphäre zum Zeitpunkt $t$ ist jene Kugeloberfläche mit dem Beobachter im Mittelpunkt, auf der sich (mit dem Beobachter) mitbewegte Objekte wie als ruhend angenommene Galaxien aufgrund der Expansion des Universums genau mit Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter entfernen. In physikalischen Koordinaten gilt für den Radius der Hubblesphäre die Formel $d_{HS}(t)=c/H(a(t))$. Der mitbewegte Abstand des Beobachters von der Kugeloberfläche beträgt $D_{HS}(t)=c/(a(t)~H(a(t))$.

Das Verhalten der Hubblesphäre im Zeitablauf ist entscheidend mit dem Zeitpunkt $t_{u}$ (u für Übergang) des Übergangs von verlangsamter zu beschleunigter Expansion verbunden. Nach der primären Beschleunigung durch den Urknall verlangsamt sich die Expansion für mehrere Milliarden Jahre, erkennbar am Kleinerwerden des Abbremsparameters $q$

$q(t)=-{\frac {a(t)a''(t)}{a'(t)^{2}}}$

wobei bei $t_{u}$ der Wert $q(t_{u})=0$ angenommen wird. Beim Parametersatz Planck18 findet der Übergang $t_{u}=7.6931755$ Mrd. Jahre nach dem Urknall bei $a=0.61284999$ statt, die physikalische Entfernung $d_{HS}(t_{u})$ vom Beobachter zur Hubblesphäre beträgt 10.122295 Mrd. Lichtjahre, die mitbewegte $D_{HS}(t_{u})$ beläuft sich auf 16.516757 Mrd. Lichtjahre.

Die Expansionsgeschwindigkeit der Hubblesphäre beträgt $d_{HS}'(t)=c(1+q(t))$. Da die Rezessionsgeschwindigkeit von Galaxien auf der Hubblesphäre genau $c$ beträgt, expandiert die Hubblesphäre schneller als der sie umgebende Raum (schneller als ruhende Objekte, die sich allein durch die Expansion des Universums vom Beobachter entfernen), solange $q>0$. Dadurch werden bei wachsendem $t$, solange $t<t_{u}$, nun Galaxien, die sich zuvor mit mehr als Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter entfernt haben, von der Kugeloberfläche der Hubblesphäre überholt und geraten ins Innere der Sphäre. Noch häufiger und für die praktische Arbeit in der Astronomie wichtiger ist der Umstand, dass von Galaxien jenseits des Hubblesphäre emittiertes, auf den Beobachter gerichtetes Licht, das sich bisher vom Beobachter entfernt hatte, nun von der Hubblespäre eingefangen wird, wodurch diese Galaxien nun für den Beobachter sichtbar werden, auch dann, wenn die Galaxien selbst weiterhin außerhalb der Hubblesphäre gelegen sind.

In der Zeichnung "Rückwärts-Lichtkegel und Hubblesphäre in physikalischen Koordinaten" bezeichnet $LK(T)$ den Rückwärts-Lichtkegel mit einem Scheitel bei $T$ Milliarden Jahren nach dem Urknall. Von den Kugeloberflächen von Lichtkegeln und Hubblesphäre sind neben den Schnittpunkten der Kugeloberflächen mit der positiven radialen Achse zusätzlich die Schnittpunkte mit dem negativen Bereich dieser Achse abgebildet, wodurch der symmetrische Aufbau der Zeichnung herrührt. Die senkrechte Mittellinie ist die Weltlinie des Beobachters.

Jeder Lichtkegel mit einem höhergelegenen (zeitlich weiter vom Urknall entfernten) Scheitelpunkt schließt den tiefergelegenen vollständig ein. Die Form der Lichtkegel wird mit Begriffen wie Träne, Tropfen (englisch oft: teardrop) oder auch Birne bezeichnet.

Alle Lichtkegel sind im unteren Bereich der Zeichnung unterhalb der Hubblesphäre gelegen. Die Hubblesphäre schneidet jeden eingezeichneten Lichtkegel, und zwar stets zum Zeitpunkt der größten physikalischen Entfernung des Lichtkegels vom Beobachter. Auf einem Lichtkegel gelegene Galaxien entfernen sich also unterhalb des Schnittpunkts (zeitlich vor Erreichen des Schnittpunkts) mit Überlichtgeschwindigkeit vom Beobachter. Für die Sichtbarkeit verantwortlich sind von der Galaxie emittierte, auf den Beobachter gerichtete Photonen, die von der sich vergrößernden Hubblesphäre überholt werden.

Die Zeichnung "Expansion des Universums in physikalischen Koordinaten" ist eine animierte Variante der vorherigen Zeichnung. Die animierte Sequenz von Lichtkegeln ist in ihrem Verlauf von kurz nach dem Urknall bis in eine fernere Zukunft zu beobachten. Nach Anklicken der Zeichnung findet man im unteren Bereich eine Legende. Auch der Vorwärts-Lichtkegel kann verfolgt werden. Ist der Rückwärts-Lichtkegel auf der positiven radialen Achse gelegen, erfolgt am Scheitelpunkt $T$ der Übergang zu negativen Koordinaten, und der Vorwärts-Lichtkegel verläuft für jedes $T$ gegen $-\infty$, falls $t$ gegen $\infty$ strebt. Die Zeichnung wurde mit dem Parametersatz PLANCK13 erstellt, auf den sich auch die am oberen Rand der Zeichnung aufgeführten variablen Parameter beziehen.

Rückwärts-Lichtkegel und Hubblesphäre in mitbewegten Koordinaten

Die Rezessionsgeschwindigkeit eines auf den Beobachter gerichteten Photons beträgt an jedem Ort zu jeder Zeit genau jene hypothetische Rezessionsgeschwindigkeit eines ruhenden Objekts am gleichen Ort zur gleichen Zeit, minus $c$. Entfernt sich ein hypothetisches ruhendes Objekt innerhalb der Hubblesphäre mit einer Geschwindigkeit $vrec$ vom Beobachter, so nähert sich ein von diesem Objekt in Richtung auf den Beobachter emittiertes Photon am gleichen Ort zur gleichen Zeit dem Beobachter mit einer Geschwindigkeit von $c-vrec$ an.

Alle HEUTE mit einer Rotverschiebung $z(HEUTE)>1.576364$ SICHTBAREN Galaxien (Schnittpunkt zwischen Lichtkegel mit Scheitelpunkt HEUTE und der Hubblesphäre: $t_{i}=5.8513981$ Mrd. Jahre nach dem Urknall, beim Skalenfaktor $a=0.38645306$, es ist also $t_{i}<t_{u}$) haben sich zum Zeitpunkt der Lichtemission mit Überlichtgeschwindigkeit vom Beobachter entfernt, die meisten davon (alle, die nie von der Hubblesphäre überholt wurden) zu allen Zeiten.

Die Abbildung "Rückwärts-Lichtkegel und Hubblesphäre in mitbewegten Koordinaten" zeigt alle Konstrukte nun in mitbewegten Koordinaten. Insbesondere ist nun jene Linie ausgearbeitet, bei der der Abbremsparameter $q$ den Wert NULL annimmt. Unterhalb der "$q=0$"-Linie, also falls $t<t_{u}$, expandiert die Hubble-Sphäre schneller als der Raum.

Wird $q<0$, tritt in Bezug auf die Rezessionsgeschwindigkeit von Galaxien nun der gegenteilige Effekt ein: der Raum expandiert schneller als die Hubblesphäre. In mitbewegten Koordinaten nimmt die Hubblesphäre ihr Maximum bei $t_{u}$ an, zieht sich also für $t>t_{u}$ in mitbewegten Koordinaten zurück. Früher innerhalb der Hubblesphäre und nahe der Kugelfläche gelegene Galaxien verlassen diese nun (wieder) und entfernen sich mit Überlichtgeschwindigkeit vom Beobachter. Nahe außerhalb der Hubblesphäre gelegene, auf den Beobachter zustrebende Photonen dringen jedoch weiterhin in die Hubblesphäre ein und erreichen den Beobachter.

Rückwärts-Lichtkegel und Galaxien

Rückwärts-Lichtkegel und Weltlinien von Galaxien in physikalischen Koordinaten

Jede Galaxie auf einem Lichtkegel entfernt sich aufgrund der Expansion des Universums vom Beobachter, während von der jeweiligen Galaxie emittierte, auf den Beobachter gerichtete Photonen Teil des Lichtkegels sind und den Beobachter schließlich erreichen.

Als Beispiel für die Auswahl von Galaxien soll die Galaxie SPT0418-47 herangezogen werden. Diese Galaxie ist HEUTE unter einer Rotverschiebung von $z(HEUTE)=4.2248$ SICHTBAR. Eine in Sichtlinie befindliche Galaxie bei $z(HEUTE)=0.263$ konnte als Gravitationslinse dienen. Erst diese gravitative Vergrößerung ermöglichte es Forschern, die Galaxie in ihrem Zustand 1.4 Milliarden Jahre nach dem Urknall (dem Emissionszeitpunkt des heute empfangenen Lichts) genauer zu untersuchen. Details sind im Wikipedia-Artikel zu finden.

SPT0418-47 und Gravitationslinse werden in der Zeichnung "Rückwärts-Lichtkegel und Weltlinien von Galaxien in physikalischen Koordinaten" bis in die fernere Zukunft verfolgt. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die Gravitationslinse selbstverständlich genau auf der lichtartigen Geodäte von SPT0418-47 zum Beobachter, also ohne Raumwinkel ebenfalls auf der Koordinatenachse, gelegen ist. (Eine auf der positiven radialen Achse angenommene Galaxie entfernt sich auf der positiven Achse vom Beobachter. Eine Symmetrie wie bei den Zeichnungen zu Lichtkegeln und Hubblesphäre ist daher nicht mehr gegeben. Es ist deshalb nur die positive radiale Achse abgebildet.)

Das Zusammenspiel zwischen Lichtkegeln und (in rot) Hubblesphäre wurde bereits zuvor ausführlich erläutert. In der Zeichnung ist zusätzlich (in grün) der Ereignishorizont eingezeichnet, der alle Lichtkegel und die Hubblesphäre von außen einschließt.

Bei der Definition des kosmologischen Ereignishorizonts stellt man die Frage nach der kleinsten oberen Schranke dafür, wie weit ein ruhendes Objekt zum Zeitpunkt $t$ vom Beobachter entfernt sein darf, damit von diesem Objekt emittierte, auf den Beobachter gerichtete Photonen den Beobachter in endlicher Zukunft noch erreichen können. Mit größer werdendem $t$ nähert sich die Hubblesphäre immer mehr dem Ereignishorizont und ist schließlich in der Zeichnung vom Ereignishorizont nicht mehr zu unterscheiden.

Man sieht in der Zeichnung im unteren Bereich die Weltlinie der Galaxie SPT0418-47, ausgehend von ihrem Schnittpunkt mit dem Lichtkegel $LK(HEUTE)$. Bei ihrer weiteren Entfernung vom Beobachter schneidet die Galaxie nun andere Lichtkegel. Beim Scheitel von $LK(21)$ ist die Galaxie nun im Schnittpunkt der Weltlinie von SPT0418-47 und der von $LK(21)$ zu SEHEN. Genauer: Der Beobachter SIEHT 21 Milliarden Jahre nach dem Urknall nun Ereignisse, die an jenem Schnittpunkt emittiert werden. Diese Überlegungen können für alle weiteren Lichtkegel fortgesetzt werden.

Beide Galaxien durchschneiden schließlich den Ereignishorizont. Je mehr sich die Galaxien dem Ereignishorizont nähern, desto später kann der Beobachter mit Lichtgeschwindigkeit emittierte Informationen von diesen Galaxien am Scheitelpunkt jenes Lichtkegels empfangen, den die Weltlinie der jeweiligen Galaxie schneidet. Salopp formuliert empfängt der Beobachter Informationen von einer Galaxie bei $T=\infty$, wenn die Weltlinie der Galaxie den Ereignishorizont schneidet. Im Sinne dieser theoretischen Überlegungen ist eine Galaxie, die der Beobachter einmal wahrgenommen hat, für alle Zeiten zu sehen, wenn sie beim Überschreiten des Ereignishorizonts noch existiert.