Schiefe Ebene

Zur gleichnamigen Eisenbahnstrecke siehe Schiefe Ebene (Eisenbahnstrecke)

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Schiefe Ebenen. Oben mit einem Neigungswinkel α von 45°, unten mit 22,5°.
Die roten Pfeile symbolisieren von links nach rechts die Hangabtriebskraft, die Gewichtskraft und die Normalkraft.

Eine schiefe Ebene oder geneigte Ebene ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern. Der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert. Die schiefe Ebene gehört wie der Flaschenzug und die Schraube zu den einfachen Maschinen.

Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel α von 45° (entsprechend einem Anstieg von 100 %. Abbildung oben) verlängert sich die Strecke zum Heben eines Gewichts von z. B. 10 Metern in der Senkrechten h auf etwa 14,1 Meter entlang der schiefen Ebene l, wodurch sich der Kraftaufwand (unter Vernachlässigung der Reibung) auf 71 % reduziert. Wird der Neigungswinkel auf 22,5° (gleich einer Steigung von 41,5 %. Abbildung unten) halbiert, verlängert sich die Strecke l auf rund 22 Meter, der Kraftaufwand verringert sich auf ca. 45 % im Vergleich zum direkten Heben.

Anwendungen dieses Prinzips finden sich z. B. bei Serpentinen im Gebirge, Rampen, die im Altertum zur Errichtung von Gebäuden benutzt wurden, Fahrrad- oder Rollstuhlrampen usw. Schrauben lassen sich auch als Zylinder mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten.

Das Werkzeug Keil nutzt die Prinzipien der schiefen Ebene.

Physikalische Grundlagen

Die Gewichtskraft F_G einer Masse, die sich auf einer Schiefen Ebene befindet, wird in zwei Komponenten zerlegt, die Hangabtriebskraft F_H parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die Normalkraft F_N senkrecht zur Oberfläche. Da die Normalkraft bereits von der schiefen Ebene selbst getragen wird, muss, um die Masse im Gleichgewicht zu halten, lediglich die Hangabtriebskraft ausgeglichen werden. Anschaulich gesprochen ist es also die Komponente Hangabtriebskraft F_H der auf ein Objekt auf einer schiefen Ebene einwirkenden Kräfte, die ein "Rutschen" des Objekts verursacht, wenn sie nicht ausgeglichen wird. Unter realen Bedingungen ist dies bei niedrigen Winkeln oft bereits allein durch Haftreibung F_R zwischen Masse und Untergrund der Fall. Ansonsten ist eine zusätzliche Kraft erforderlich (z. B. Bremse, Motor oder Festhalten)...

Formeln

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

F_G : Gewichtskraft der Masse

F_N : Normalkraft

F_H : Hangabtriebskraft

F_R : Reibungskraft

α  : Neigungswinkel der schiefen Ebene

μ  : Haftreibungs-Koeffizient

h  : Höhe der schiefen Ebene

b  : Basis der und anderer schiefen Ebenen

l  : Länge der schiefen Ebene

Datei:Schiefe ebene 2.jpg

Kräfte an Körper auf schiefer Ebene: rot = Gewichtskraft, grün = Kontaktkraft

Die Gewichtskraft F_G kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkraft F_N) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskraft F_H).

$F_{N}=F_{G}\cdot cos(\alpha )=F_{G}\cdot {\frac {b}{l}}$

$F_{H}=F_{G}\cdot sin(\alpha )=F_{G}\cdot {\frac {h}{l}}$

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft F_N und eine Reibungskraft F_R.

Damit der Körper in Ruhe sein kann, muss die Hangabtriebskraft $F_{H}$ gerade gleich gross sein wie die Reibungskraft $F_{R}$:

$\ F_{H}=F_{R}$

Mit dem Haftreibungsgesetz

$F_{R}\leq \mu \cdot F_{N}$

ergibt sich als notwendige Bedingung

$\mu \geq tan(\alpha )$

Wenn der Neigungswinkel α zu gross oder der Reibungskoeffizient μ zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich -- der Körper rutscht.

Zu beachten ist, dass

1. der Anstieg als das Verhältnis $tan(\alpha )={\frac {h}{b}}$ und
2. die Steigung als das Verhältnis $sin(\alpha )={\frac {h}{l}}$

bezeichnet wird.

Mit Luftwiderstand

Im folgenden soll die Luftwiderstandskraft $F=k\cdot v^{2}$ bei der Bewegung des Körpers an der schiefen Ebene berücksichtigt werden. Die Konstante k ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums (z.B. Luft) abhängig. Es gilt: $k=c_{w}\cdot A\cdot \rho$.

Hierbei ist cw der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und ρ die Dichte des strömenden Mediums, μ ist der Reibungs-Koeffizient.

Aus den Kraftansätzen entstehen recht komplexe Bewegungsgleichungen. Diese Differentialgleichungen sind aber lösbar.

Kräfte bei der Abwärtsbewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 und Berücksichtigung des Luftwiderstands

Aus dem Kraftansatz $m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin(\alpha )-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos(\alpha )-k\cdot v^{2}$

folgt die Differentialgleichung $m{\dot {v}}\,\,+k\cdot v^{2}=c$.

mit $c=m\cdot g\cdot \sin(\alpha )-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos(\alpha )$

Folgende Fälle sind zu unterscheiden:

a) $c>0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan(\alpha )>\mu$

Ansatz : $v=a\cdot \tanh(b\cdot t)$ => ${\dot {v}}={\frac {a\cdot b}{\cosh ^{2}\left({b\cdot t}\right)}}$.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von $\cosh ^{2}\left({b\cdot t}\right)=1+\sinh ^{2}\left({b\cdot t}\right)$ und durch Koeffizientenvergleich erhält man:

$a={\sqrt {\frac {c}{k}}}\,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,b={\frac {\sqrt {c\cdot k}}{m}}$

Als Lösung ergibt sich:

$v(t)={\sqrt {\frac {c}{k}}}\cdot \tanh \left({{\frac {\sqrt {c\cdot k}}{m}}t+atnh\left({v_{0}{\sqrt {\frac {k}{c}}}}\right)}\right)$

${\sqrt {\frac {c}{k}}}$ ist die Endgeschwindigkeit.

v0< ${\sqrt {\frac {c}{k}}}$ . tanh(x) ist der Tangens Hyperbolicus.

b) $c<0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan(\alpha )<\mu$

unter Berücksichtigung von $i\cdot \tanh(ix)=-\tan(x)$ erhält man:

$v(t)=-{\sqrt {\frac {-c}{k}}}\cdot \tan \left({{\frac {\sqrt {-c\cdot k}}{m}}\cdot \left({t-t_{0}}\right)}\right);t\in \left[{0;t_{0}}\right]$

zum Zeitpunkt $t_{0}={\frac {m}{\sqrt {-c\cdot k}}}\cdot atn\left({v_{0}\cdot {\sqrt {\frac {k}{-c}}}}\right)$ kommt der Körper zur Ruhe. Für den Bremsweg s gilt:

$s=\int \limits _{0}^{t_{0}}{v(t)dt=-{\frac {m}{k}}\ln \left({\cos \left({atn\left({v_{0}\cdot {\sqrt {\frac {k}{-c}}}}\right)}\right)}\right)}$

c) $c=0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan(\alpha )=\mu$

$v(t)={\frac {m}{k\cdot (t+{\frac {m}{k\cdot v_{0}}})}}$

Die Geschwindigkeit nähert sich zwar hyperbelförmig der Ruhe, der Bremsweg ist aber unendlich lang.

Kräfte bei der Aufwärtsbewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 und Berücksichtigung des Luftwiderstands

Aus dem Kraftansatz $m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin(\alpha )+\mu \cdot m\cdot g\cdot \sin(\alpha )+k\cdot v^{2}$

folgt die Differentialgleichung $m{\dot {v}}\,\,-k\cdot v^{2}=c$.

mit $c=m\cdot g\cdot \sin(\alpha )+\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos(\alpha )$

Ansatz : $v=a\cdot \tan(b\cdot t)$ => ${\dot {v}}={\frac {a\cdot b}{\cos ^{2}\left({b\cdot t}\right)}}$.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von $\cos ^{2}\left({b\cdot t}\right)=1-\sin ^{2}\left({b\cdot t}\right)$

und durch Koeffizientenvergleich erhält man

$a={\sqrt {\frac {c}{k}}}\,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,b={\frac {\sqrt {c\cdot k}}{m}}$

Als Lösung ergibt sich:

$v(t)={\sqrt {\frac {c}{k}}}\cdot \tan \left({{\frac {\sqrt {c\cdot k}}{m}}\cdot \left({t-t_{0}}\right)}\right);t\in \left[{0;t_{0}}\right]$

zum Zeitpunkt $t_{0}={\frac {m}{\sqrt {c\cdot k}}}\cdot atn\left({-v_{0}\cdot {\sqrt {\frac {k}{c}}}}\right)$ kommt der Körper zur Ruhe, wobei v0 negativ ist.

Für den Bremsweg s gilt :

$s=\int \limits _{0}^{t_{0}}{v(t)dt=-{\frac {m}{k}}\ln \left({\cos \left({atn\left({\left|{v_{0}}\right|\cdot {\sqrt {\frac {k}{c}}}}\right)}\right)}\right)}$

Weblinks

• Bestimmung der Endgeschwindigkeit an einer geneigten Ebene
• Interaktives Experiment zu Hangabtriebskraft, Reibungskraft und Normalkraft auf einen Körper auf einer Schiefen Ebene
• Die "Goldene Regel der Mechanik" hergeleitet am Beispiel der schiefen Ebene