Die Goldbachsche Vermutung ist eine der ältesten offenen Fragen der Zahlentheorie und der Mathematik überhaupt. Sie wurde erstmals in einem Brief von Christian Goldbach an Leonhard Euler 1742 gestellt. Sie lautet:
- Kann jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden?
Diese Vermutung ist heute als ternäre Goldbachsche Vermutung bekannt und ist heute "so gut wie" gelöst: Sie gilt, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist; und auch ohne einen Beweis für selbige ist das Problem "nur" für endlich viele Zahlen unbewiesen (wenn auch für sehr viele).
Eine stärkere Vermutung, aus deren Beweis obige Vermutung unmittelbar folgen würde, ist die Folgende, als binäre Goldbachsche Vermutung bekannte:
- Kann jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden?
Mit diesen Vermutungen haben sich bis in die heutige Zeit viele Zahlentheoretiker befasst. Die binäre wurde im Jahre 1998 mit dem Computer von Jörg Richstein an der Uni Gießen für alle Zahlen bis 4 * 1014 überprüft. Seit der britische Verlag Faber & Faber ein Preisgeld von 1.000.000 Dollar auf die Lösung dieses Problems ausgelobt hat, ist auch das öffentliche Interesse an dieser Frage gewachsen. (Allerdings wird dieses Preisgeld nur an britische oder US-Bürger, die das Problem lösen, ausgezahlt!)
Die meisten Mathematiker glauben, dass die Vermutung wahr ist, und das hauptsächlich wegen der statistischen Verteilung der Primzahlen: Je größer die gerade Zahl ist, desto "wahrscheinlicher" ist es, dass es zwei Primzahlen gibt, deren Summe die gewünschte Zahl ist. Es ist bekannt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe von höchstens 6 Primzahlen ausgedrückt werden kann, und 1966 bewies der Mathematiker Chen, dass jede hinreichend große gerade Zahl als eine Summe von einer Primzahl und einer Zahl geschrieben werden kann, die höchstens zwei Primfaktoren besitzt.
Verwandte Themen:
Zahlentheorie -- Natürliche Zahlen
Literatur:
"Verifying the Goldbach Conjecture up to 4x1014", J. Richstein, erscheint in Mathematics of Computation.