Chi-Quadrat-Test

Mit dem χ²-Test (Chi-Quadrat-Test) untersucht man Verteilungseigenschaften einer statistischen Grundgesamtheit.

Man unterscheidet vor allem die beiden Tests:

Verteilungstest oder Anpassungstest: Hier wird geprüft, ob vorliegende Daten einer bestimmten Verteilung entstammen.
Unabhängigkeitstest: Hier wird geprüft, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind.

Verteilungstest

Man betrachtet ein statistisches Merkmal x, dessen Wahrscheinlichkeiten in der Grundgesamtheit unbekannt sind. Es wird bezüglich der Wahrscheinlichkeiten von x eine, vorläufig allgemein formulierte Nullhypothese

H_o: Das Merkmal x hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung F_o(x)

aufgestellt.

Vorgehensweise

Die n Beobachtungen von x liegen in m verschiedenen Kategorien j (j = 1,... m) vor. Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise zu Klassen j zusammen und fasst die Klassenzugehörigkeit als j-te Kategorie auf. Die Zahl der Beobachtungen in einer Kategorie ist die beobachtete Häufigkeit n_j.

Man überlegt sich nun, wieviele Beobachtungen im Mittel in einer Kategorie liegen müssten, wenn x tatsächlich die hypothetische Verteilung hat. Dazu berechnet man zunächst die Wahrscheinlichkeit F_o(x)_j, dass x in diese Kategorie fällt.

n_{jo}=F_{o}(x)_{j}\cdot n

ist die unter H_o zu erwartende Häufigkeit.

Die Prüfgröße für den Test ist

\chi ^{2}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {(n_{j}-n_{jo})^{2}}{n_{jo}}}

.

Die Prüfgröße χ² ist bei ausreichend großen n_j annähernd χ²-verteilt mit m-1 Freiheitsgraden.

Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollte der Unterschied zwischen der beobachteten und der theoretisch erwarteten Häufigkeit klein sein. Also wird H_o bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt, der Ablehnungsbereich für H_o liegt rechts.

Bei einem Signifikanzniveau α wird H_o abgelehnt, wenn χ² > χ²(1-α; m-1), dem (1-α)-Quantil der χ²-Verteilung mit m-1 Freiheitsgraden ist.

Es existieren Tabellen für die χ²-Schwellenwerte in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade und vom gewünschten Signifikanzniveau, z. B. [1] oder (knapper) [2].

Soll die Sicherheitsschwelle (=Signifikanzniveau), die zu einem bestimmten χ² gehört, bestimmt werden, so muss in der Regel aus der Tabelle ein Zwischenwert berechnet werden. Dazu verwendet man logarithmische Interpolation.

Besonderheiten

Schätzung von Verteilungsparametern

Im allgemeinen gibt man bei der Verteilungshypothese die Parameter der Verteilung an. Kann man diese nicht angeben, müssen sie aus der Stichprobe geschätzt werden. Hier geht bei der χ²-Verteilung pro geschätztem Parameter ein Freiheitsgrad verloren. Sie hat also m-w-1 Freiheitsgrade mit w als Zahl der geschätzten Parameter.

Mindestgröße der erwarteten Häufigkeiten

Damit die Prüfgröße als annähernd χ²-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit eine gewisse Mindestgröße betragen. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen.

Beispiel zu Anpassungstest

Es liegen von ca. 200 börsennotierten Unternehmen die Umsätze vor. Das folgende Histogramm, in SPSS erstellt, zeigt ihre Verteilung.

Es sei x: Umsatz eines Unternehmens [Mio. €].

Es soll nun die Hypothese getestet werden, dass x normalverteilt ist.

Da die Daten in vielen verschiedenen Ausprägungen vorliegen, wurden sie in Klassen eingeteilt. Es ergab sich die Tabelle:

Klasse	Intervall		Beobachtete Häufigkeit
j	über	bis	n_j
1	...	0	0
2	0	5000	148
3	5000	10000	17
4	10000	15000	5
5	15000	20000	8
6	20000	25000	4
7	25000	30000	3
8	30000	35000	3
9	35000	...	9
Summe			197

Da keine Parameter vorgegeben werden, werden sie aus der Stichprobe ermittelt. Es sind geschätzt

{\hat {\mu }}={\bar {x}}=6892

und

{\hat {\sigma }}=s=14984.

Es wird getestet:

H_o: X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 6892 und der Varianz σ² = 14984².

Um die erwarteten Häufigkeiten zu bestimmen, werden zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass X in die vorgegebenen Klassen fällt. Es sei Φ(x|6892;14984²) die Verteilungsfunktion der oben angegebenen Normalverteilung an der Stelle x. Man errechnet dann

P(X\leq 0)=F_{1o}=\Phi (0|6892;14984^{2})=0,3228

P(0<X\leq 5000)=\Phi (5000|6892;14984^{2})-\Phi (0|6892;14984^{2})=0,1270

...

Daraus ergeben sich die erwarteten Häufigkeiten

n_{1o}=n\cdot F_{1o}=197\cdot 0,3228=63,59

n_{2o}=197\cdot 0,1270=25,02

...

Es müssten also beispielsweise ca. 25 Unternehmen im Mittel einen Umsatz zwischen 0 und 5000 € haben, wenn das Merkmal Umsatz tatsächlich normalverteilt ist.

Die erwarteten Häufigkeiten sind zusammen mit den beobachteten Häufigkeiten in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Klasse	Intervall		Beobachtete Häufigkeit	Wahrscheinlichkeit	Erwartete Häufigkeit
j	über	bis	n_j	F_jo	n_jo
1	...	0	0	0,3228	63,59
2	0	5000	148	0,1270	25,02
3	5000	10000	17	0,1324	26,08
4	10000	15000	5	0,1236	24,35
5	15000	20000	8	0,1034	20,36
6	20000	25000	4	0,0774	15,25
7	25000	30000	3	0,0519	10,23
8	30000	35000	3	0,0312	6,14
9	35000	...	9	0,0303	5,98
Summe			197	1,0000	197,00

Die Prüfgröße wird jetzt folgendermaßen ermittelt:

\chi ^{2}={\frac {(0-63,59)^{2}}{63,59}}+{\frac {(148-25,02)^{2}}{25,02}}+...+{\frac {(9-5,98)^{2}}{5,98}}=710,79.

Bei einem Signifikanzniveau α = 0,05 liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei χ²(0,95;9-2=7) = 14,07. Da χ² > 14,07 ist, wird die Hypothese abgelehnt. Man kann davon ausgehen, dass das Merkmal Umsatz nicht normalverteilt ist.

Ergänzung

Die Daten wurden logarithmiert. Ein Normalverteilungstest dieser Daten wurde bei einem Signifikanzniveau von 0,05 nicht abgelehnt.

Das folgende Histogramm, in SPSS erstellt, zeigt die Verteilung der logarithmierten Daten.

Unabhängigkeitstest

Siehe auch: Vierfeldertest

Man betrachtet zwei statistische Merkmale x und y, die beliebig skaliert sein können. Man interessiert sich dafür, ob die Merkmale stochastisch unabhängig sind. Es wird die Nullhypothese

H_o: Das Merkmal x ist vom Merkmal y stochastisch unabhängig.

aufgestellt.

Vorgehensweise

Die Beobachtungen von x liegen in m vielen Kategorien j (j = 1,... m) vor, die des Merkmals y in r vielen Kategorien k (k=1, ..., r) vor. Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise zu Klassen j zusammen und fasst die Klassenzugehörigkeit als j-te Kategorie auf. Es gibt insgesamt n viele paarweise Beobachtungen von x und y, die sich auf m×r Kategorien verteilen.

Konzeptionell ist der Test so aufzufassen:

Man betrachte zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitstabelle dargestellt werden können.

Man zählt nun, wie oft die j-te Ausprägung von X zusammen mit der k-ten Ausprägung von Y auftritt. Die beobachteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten n_jk können in einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle mit m Zeilen und r Spalten eingetragen werden.

	Merkmal y						Σ
Merkmal x	1	2	...	k	...	r	n_j.
1	n₁₁	n₁₂	...	n_1k	...	n_1r	n_1.
2	n₂₁	n₂₂	...	n_2k	...	n_2r	n_2.
...	...	...	...	...	...	...	...
j	...	...	...	n_jk	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...	...
m	n_m1	n_m2	...	n_mk	...	n_mr	n_m.
Σ	n_.1	n_.2	...	n_.k	...	n_.r	n

Die Zeilen- bzw. Spaltensummen ergeben die absoluten Randhäufigkeiten n_j. bzw. n_.k als

n_{j.}=\sum _{k=1}^{r}n_{jk}

und :

n_{.k}=\sum _{j=1}^{m}n_{jk}

.

Entsprechend sind die gemeinsamen relative Häufigkeiten p_jk = n_jk/n und die relativen Randhäufigkeiten p_j. = n_j./n und p_.k = n_.k/n.

Wahrscheinlichkeitstheoretisch gilt: Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, ist die Wahrscheinlichkeit für ihr gemeinsames Auftreten gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:

P(A\land B)=P(A)\cdot P(B)

Man überlegt sich nun, dass analog zu oben bei stochastischer Unabhängigkeit von x und y auch gelten müsste

p_{jk}\approx p_{j.}\cdot p_{.k}

,

mit n multipliziert entsprechend

n_{jk}\approx {\frac {n_{j.}\cdot n_{.k}}{n}}

oder auch

n_{jk}-{\frac {n_{j.}\cdot n_{.k}}{n}}\approx 0

.

Sind diese Differenzen für sämtliche j,k klein, kann man vermuten, dass x und y tatsächlich stochastisch unabhängig sind.

Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit

n_{jk}^{*}={\frac {n_{j.}\cdot n_{.k}}{n}}

resultiert aus der obigen Überlegung die Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest

\chi ^{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(n_{jk}-n_{jk}^{*})^{2}}{n_{jk}^{*}}}

.

Die Prüfgröße χ² ist bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten n_jk* annähernd χ²-verteilt mit (m-1)(r-1) Freiheitsgraden.

Wenn die Prüfgröße klein ist, wird vermutet, dass die Hypothese wahr ist. Also wird H_o bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt, der Ablehnungsbereich für H_o liegt rechts.

Bei einem Signifikanzniveau α wird H_o abgelehnt, wenn χ² > χ²(1-α; (m-1)(r-1)), dem (1-α)-Quantil der χ²-Verteilung mit (m-1)(r-1) Freiheitsgraden ist.

Besonderheiten

Damit die Prüfgröße als annähernd χ²-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit eine gewisse Mindestgröße betragen. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen.

Beispiel zu Unabhängigkeitstest

Im Rahmen des Qualitätsmanagements wurden die Kunden einer Bank befragt, unter anderem nach ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und nach der Gesamtzufriedenheit. Der Grad der Zufriedenheit richtete sich nach dem Schulnotensystem.

Die Daten wurden in SPSS verarbeitet. Es ergab sich die unten folgende Kreuztabelle der Gesamtzufriedenheit von Bankkunden versus ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung. Man sieht, dass einige erwartete Häufigkeiten zu klein waren.

Eine Reduzierung der Kategorien auf jeweils drei, ergab methodisch korrekte Ergebnisse.

Die folgende Tabelle enthält die erwarteten Häufigkeiten n_jk*, die sich so berechnen:

n_{11}^{*}={\frac {102\cdot 270}{621}}=44,35\quad n_{12}^{*}={\frac {102\cdot 273}{621}}=44,84\quad ...\quad n_{33}^{*}={\frac {160\cdot 78}{621}}=20,10

	Merkmal y
Merkmal x	1	2	3	Σ
1	44,35	44,84	12,81	102
2	156,09	157,82	45,09	359
3	69,57	70,34	20,10	160
Σ	270	273	78	621

Die Prüfgröße wird dann folgendermaßen ermittelt:

\chi ^{2}={\frac {(86-44,35)^{2}}{44,35}}+{\frac {(16-44,84)^{2}}{44,84}}+...+{\frac {(53-20,10)^{2}}{20,10}}=167,187

Bei einem α = 0,05 liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei χ²(0,95;4) = 9,488. Da χ² > 9,488 ist, wird die Hypothese abgelehnt, man vermutet also, dass die Gesamtzufriedenheit von der Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung beeinflusst wurde.

Weiteres einfaches Beispiel zum Unabhängigkeitstest

Jemand interessiert sich dafür, ob es einen bedeutenden Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Wahl der Schuhe gibt. In einer Schulklasse zählte man folgende Werte:

	männlich	weiblich	Summe
Sandalen	2	7	9
Turnschuhe	5	3	8
Halbschuhe	3	1	4
andere	3	2	5
Summe	13	13	26

Nun müssen die Erwartungswerte berechnet werden. Wir halten alle Kategorien für gegenseitig unabhängig - was auch die Bedingung dafür ist, dass man Wahrscheinlichkeitswerte multiplizieren darf. Wir hatten zum Beispiel 13 Männer und 13 Frauen in der Klasse, also ist die Wahrscheinlichkeit, männlich zu sein ${\frac {13}{13+13}}=0.5$ (Merke: 1 = "trifft immer zu"; 0 = "trifft nie zu")

Um z.B. den Erwartungswert für "männlich und trägt Sandalen" zu berechnen, multipliziert man die Wahrscheinlichkeitswerte für "männlich" mit "trägt Sandalen" und mit der Anzahl Personen der Schulklasse (26): $0.5*0.3461*26=4.5$

oder einfacher: Anzahl Männer mal Anzahl SandalenträgerInnen geteilt durch Anzahl Personen insgesamt:

${\frac {13*9}{26}}=4.5$

Nach einiger Rechnerei erhält man die Tafel der erwarteten Werte:

	männlich	weiblich	Summe
Sandalen	4.5	4.5	9
Turnschuhe	4	4	8
Halbschuhe	2	2	4
andere	2.5	2.5	5
Summe	13	13	26

Diese Tafel zeigt die Werte, die man erwarten müsste, wenn das Geschlecht keinen Einfluss auf die Kleiderwahl hat.

Wie stark unterscheidet sich unsere Klasse von jener Klassenzusammensetzung, die man erwarten müsste? Dazu bestimmt man für jedes Feld einen Abweichungskoeffizienten:

{\frac {(E(X)-X)^{2}}{E(X)}}

X: tatsächliche Zahl

E(X): erwartete Zahl

Die Differenz zwischen gemessenem/gezähltem und dem erwarteten Wert wird quadriert, damit für die Weiterverarbeitung eine positive Zahl entsteht. Zusätzlich äussern sich Differenzen stärker - so werden die Unterschiede sensibler erfasst.

	männlich	weiblich
Sandalen	1.38	1.38
Turnschuhe	0.25	0.25
Halbschuhe	0.5	0.5
andere	0.1	0.1

Die Summe all dieser Koeffizenten entspricht dem χ²:

χ² = 4.47778

Unsere Tabelle hat 2 Spalten und 4 Zeilen. Die Anzahl Freiheitsgrade beträgt also drei:

v = (n_Spalten - 1) * (n_Zeilen - 1) = 3

bei Tabellen mit 1 Spalte oder 1 Zeile gilt v = n_Spalten - 1 respektive v = n_Zeilen - 1

Die Tabelle am Ende dieses Artikels sagt, dass χ² bei 5 % (= 0.05 = 1 - 0.95) Irrtumswahrscheinlichkeit mindestens 7.81 betragen müsse, unser χ² beträgt aber nur 4.47.

Bei dieser Schulklasse kann man also behaupten, dass kein gesicherter Zusammenhang bestehe zwischen dem Geschlecht und der Art der Schuhe.

Stärke des Zusammenhangs

Auch die Stärke des Zusammenhangs zwischen dem Geschlecht und der Art der Schuhe kann berechnet werden.

r² nennt man im Englisch "shared variance", ist mit dem Pearson-Koeffizienten verwandt und wird wie folgt berechnet:

Im Fall von k > 1:

r^{2}={\frac {\chi ^{2}}{N*(k-1)}}

Im Fall von k = 1:

r^{2}={\frac {\chi ^{2}}{N}}

k: der kleinere Wert von der Anzahl Zeilen und der Anzahl Spalten - hier haben wir 2 Spalten und 4 Zeilen, also ist k = 2

N: Gesamttotal aller Beobachtungen (26 Personen in unserer Klasse)

Bei unserer Schulklasse beträgt r² = 0.172. In 17.2 % der Fälle kann also das Geschlecht für die Wahl der Schuhmode verantwortlich gemacht werden. Diese Prozentzahl ist aber mit grosser Vorsicht zu geniessen - denn vorhin wurde gerade gezeigt, dass kein signifikanter Zusammenhang bestehe zwischen Geschlecht und den Schuhen.

Tabelle

f / 1-α	.900	.950	.975	.990	.995	.999
1	2.71	3.84	5.02	6.63	7.88	10.83
2	4.61	5.99	7.38	9.21	10.60	13.82
3	6.25	7.81	9.35	11.34	12.84	16.27
4	7.78	9.49	11.14	13.28	14.86	18.47
5	9.24	11.07	12.83	15.09	16.75	20.52
6	10.64	12.59	14.45	16.81	18.55	22.46
7	12.02	14.07	16.01	18.48	20.28	24.32
8	13.36	15.51	17.53	20.09	21.95	26.12
9	14.68	16.92	19.02	21.67	23.59	27.88
10	15.99	18.31	20.48	23.21	25.19	29.59
11	17.28	19.68	21.92	24.72	26.76	31.26
12	18.55	21.03	23.34	26.22	28.30	32.91
13	19.81	22.36	24.74	27.69	29.82	34.53
14	21.06	23.68	26.12	29.14	31.32	36.12
15	22.31	25.00	27.49	30.58	32.80	37.70
16	23.54	26.30	28.85	32.00	34.27	39.25
17	24.77	27.59	30.19	33.41	35.72	40.79
18	25.99	28.87	31.53	34.81	37.16	42.31
19	27.20	30.14	32.85	36.19	38.58	43.82
20	28.41	31.41	34.17	37.57	40.00	45.31
21	29.62	32.67	35.48	38.93	41.40	46.80
22	30.81	33.92	36.78	40.29	42.80	48.27
23	32.01	35.17	38.08	41.64	44.18	49.73
24	33.20	36.42	39.36	42.98	45.56	51.18
25	34.38	37.65	40.65	44.31	46.93	52.62
26	35.56	38.89	41.92	45.64	48.29	54.05
27	36.74	40.11	43.19	46.96	49.64	55.48
28	37.92	41.34	44.46	48.28	50.99	56.89
29	39.09	42.56	45.72	49.59	52.34	58.30
30	40.26	43.77	46.98	50.89	53.67	59.70
40	51.81	55.76	59.34	63.69	66.77	73.40
50	63.17	67.50	71.42	76.15	79.49	86.66
60	74.40	79.08	83.30	88.38	91.95	99.61
70	85.53	90.53	95.02	100.43	104.21	112.32
80	96.58	101.88	106.63	112.33	116.32	124.84
90	107.57	113.15	118.14	124.12	128.30	137.21
100	118.50	124.34	129.56	135.81	140.17	149.45
200	226.02	233.99	241.06	249.45	255.26	267.54
300	331.79	341.40	349.87	359.91	366.84	381.43
400	436.65	447.63	457.31	468.72	476.61	493.13
500	540.93	553.13	563.85	576.49	585.21	603.45

Siehe auch

Vierfeldertest, Exakter Test nach Fisher, Chi-Quadrat-Verteilung, Cramers V